Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Se consideran las semirrectas no alineadas $OX$ y $OY$ de vértice común $O$. Por un punto $A$ de $OX$ se trazan rectas $r_1$ y $r_2$ antiparalelas respecto al ángulo $\angle XOY$. Sean $M$ y $N$ las intersecciones de $r_1$ con $OY$ y de $r_2$ con $OX$, respectivamente. Sea $P$ el punto de intersección de las bisectrices de los ángulos $\angle AMY$ y $\angle ANY$. Hallar el lugar geométrico de $P$ al variar $A$.

Nota. Las rectas $r_1$ y $r_2$ se dicen antiparalelas respecto al ángulo $\angle XOY$ cuando su bisectriz es perpendicular a la bisectriz del ángulo $\angle XOY$.

Sea $\mathcal{P}$ el conjunto de los puntos del plano y $f:\mathcal{P}\to\mathcal{P}$ una aplicación que cumple las tres condiciones siguientes:

• $f$ es biyectiva.
• Para cada recta $r$ del plano, $f(r)$ es una recta.
• Para cada recta $r$, la recta $f(r)$ es paralela o coincidente con $r$.

¿Qué posibles transformaciones pueden ser $f$?

Se considera una circunferencia $\gamma$ de centro $(3,0)$ y radio $3$ y la recta $r$ paralela al eje $OX$ que dista $3$ del origen. Se traza una recta variable por el origen que corta a $\gamma$ en un punto $M$ y corta a la recta $r$ en un punto $P$. Determinar el lugar geométrico de los puntos de intersección de las paralelas a $OX$ y $OY$ trazadas por $M$ y $P$, respectivamente.

En dos circunferencias iguales se fijan sendos puntos $A$ y $A'$. Dada una longitud $x$, se trazan arcos $AB$ y $A'B'$ de longitud $x$ sobre las circunferencias. Hallar el lugar geométrico de los puntos medios del segmento $BB'$ al variar $x$ en cada uno de los siguientes supuestos:

1. cuando los arcos se llevan en el mismo sentido,
2. cuando los arcos se llevan en sentidos opuestos.

Un tetraedro regular de arista $30$ cm descansa sobre una de sus caras. Suponiéndolo hueco, se vierten 2 litros de agua en su interior. Se pide la altura que alcanza el líquido y el área de la superficie libre del agua.