Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Se considera una circunferencia $\gamma$ de centro $(3,0)$ y radio $3$ y la recta $r$ paralela al eje $OX$ que dista $3$ del origen. Se traza una recta variable por el origen que corta a $\gamma$ en un punto $M$ y corta a la recta $r$ en un punto $P$. Determinar el lugar geométrico de los puntos de intersección de las paralelas a $OX$ y $OY$ trazadas por $M$ y $P$, respectivamente.

En dos circunferencias iguales se fijan sendos puntos $A$ y $A'$. Dada una longitud $x$, se trazan arcos $AB$ y $A'B'$ de longitud $x$ sobre las circunferencias. Hallar el lugar geométrico de los puntos medios del segmento $BB'$ al variar $x$ en cada uno de los siguientes supuestos:

1. cuando los arcos se llevan en el mismo sentido,
2. cuando los arcos se llevan en sentidos opuestos.

Un tetraedro regular de arista $30$ cm descansa sobre una de sus caras. Suponiéndolo hueco, se vierten 2 litros de agua en su interior. Se pide la altura que alcanza el líquido y el área de la superficie libre del agua.

Hallar las coordenadas de los vértices de un cuadrado $ABCD$, sabiendo que $A$ está sobre la recta $y-2x-6=0$, $C$ en $x=0$ y $B$ es el punto $(a,0)$, siendo $a=\log_{2/3}(16/81)$.

Construir un triángulo conociendo un ángulo, la razón de los lados que lo forman y el radio del círculo inscrito.