Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Dado un conjunto $C$ de puntos del plano, la distancia de un punto $P$ del plano al conjunto $C$ se define como la menor de las distancias de $P$ a cada uno de los puntos de $C$. Sean los conjuntos $C = \{A,B\}$, con $A = (1,0)$ y $B = (2,0)$, y $C'=\{A',B'\}$, con $A' = (0, 1)$ y $B'=(0,7)$, en un sistema de referencia ortogonal. Hallar y dibujar el conjunto $M$ de puntos del plano que equidistan de $C$ y $C'$. Estudiar si es derivable la función cuya gráfica es el conjunto $M$ así obtenido.

Construir un cuadrado conociendo la suma de la diagonal y el lado.

Al componer una simetría de eje $r$ con un giro de ángulo recto alrededor de un punto $P$ que no pertenece a $r$, resulta otro movimiento $M$. ¿Es $M$ una simetría axial? ¿Hay alguna recta invariante por $M$?

Demostrar que la transformación producto de la simetría de centro $(0,0)$ por la simetría de eje la recta de ecuación $x=y+1$ puede expresarse como producto de una simetría de eje una recta $e$ por una traslación de vector $\vec{v}$ paralelo a $e$. Determinar una recta $e$ y un vector $\vec{v}$ que cumplan las condiciones indicadas. ¿Son únicos $e$ y $\vec{v}$?

Dadas dos rectas que se cruzan $r$ y $s$, se consideran las rectas $u$ y $v$ tales que $u$ es simétrica de $r$ respecto de $s$ y $v$ es simétrica de $s$ respecto de $r$. Determinar el ángulo que deben formar las rectas dadas para que $u$ y $v$ sean coplanarias.