Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Al componer una simetría de eje $r$ con un giro de ángulo recto alrededor de un punto $P$ que no pertenece a $r$, resulta otro movimiento $M$. ¿Es $M$ una simetría axial? ¿Hay alguna recta invariante por $M$?

Demostrar que la transformación producto de la simetría de centro $(0,0)$ por la simetría de eje la recta de ecuación $x=y+1$ puede expresarse como producto de una simetría de eje una recta $e$ por una traslación de vector $\vec{v}$ paralelo a $e$. Determinar una recta $e$ y un vector $\vec{v}$ que cumplan las condiciones indicadas. ¿Son únicos $e$ y $\vec{v}$?

Dadas dos rectas que se cruzan $r$ y $s$, se consideran las rectas $u$ y $v$ tales que $u$ es simétrica de $r$ respecto de $s$ y $v$ es simétrica de $s$ respecto de $r$. Determinar el ángulo que deben formar las rectas dadas para que $u$ y $v$ sean coplanarias.

Determinar todos los triángulos tales que las longitudes de los tres lados y su área estén dados por cuatro números naturales consecutivos.

El punto $M$ varía sobre el segmento $AB$ que mide $2$ m.

1. Hallar la ecuación y la representación gráfica del lugar geométrico de los puntos del plano cuyas coordenadas $x$ e $y$ son, respectivamente, las áreas de los cuadrados de lados $AM$ y $MB$.
2. Averiguar qué clase de curva es. (Sugerencia: hacer un giro de ejes de $45^\circ)$.
3. Hallar el área del recinto comprendido entre la curva obtenida y los ejes de coordenadas.