Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sean $R$ y $S$ puntos distintos sobre la circunferencia $\Omega$ tales que $RS$ no es un diámetro de $\Omega$. Sea $\ell$ la recta tangente a $\Omega$ en $R$. El punto $T$ es tal que $S$ es el punto medio del segmento $RT$. El punto $J$ se elige en el arco menor $RS$ de $\Omega$ de manera que $\Gamma$, la circunferencia circunscrita al triángulo $JST$, corta a $\ell$ en dos puntos distintos. Sea $A$ el punto común de $\Gamma$ y $\ell$ más cercano a $R$. La recta $AJ$ corta por segunda vez a $\Omega$ en $K$. Demostrar que la recta $KT$ es tangente a $\Gamma$.

El triángulo $BCF$ es rectángulo en $B$. Sea $A$ el punto de la recta $CF$ tal que $FA = FB$ y $F$ está entre $A$ y $C$. Se elige el punto $D$ de modo que $DA = DC$ y $AC$ es bisectriz del ángulo $\angle DAB$. Se elige el punto $E$ de modo que $EA = ED$ y $AD$ es bisectriz del ángulo $\angle EAC$. Sea $M$ el punto medio de $CF$. Sea $X$ el punto tal que $AMXE$ es un paralelogramo (con $AM$ paralela a $EX$ y $AE$ paralela a $MX$). Demostrar que las rectas $BD$, $FX$ y $ME$ son concurrentes.

El triángulo $ABC$ tiene circunferencia circunscrita $\Omega$ y circuncentro $O$. Una circunferencia $\Gamma$ de centro $A$ corta al segmento $BC$ en los puntos $D$ y $E$ tales que $B,D,E,C$ son todos diferentes y están en la recta $BC$ en este orden. Sean $F$ y $G$ los puntos de intersección de $\Gamma$ y $\Omega$ tales que $A,F,B,C,G$ están sobre $\Omega$ en este orden. Sea $K$ el segundo punto de intersección de la circunferencia circunscrita al triángulo $BDF$ y el segmento $AB$. Sea $L$ el segundo punto de intersección de la circunferencia circunscrita al triángulo $CGE$ y el segmento $CA$. Supongamos que las rectas $FK$ y $GL$ son distintas y se cortan en el punto $X$. Demostrar que $X$ está en la recta $AO$.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AB\gt AC$. Sea $\Gamma$ su circunferencia circunscrita, $H$ su ortocentro y $F$ el pie de la altura desde $A$. Sea $M$ el punto medio del segmento $BC$. Sea $Q$ el punto de $\Gamma$ tal que $\angle HQA=90^\circ$ y sea $K$ el punto de $\Gamma$ tal que $\angle HKQ=90^\circ$. Supongamos que los puntos $A$, $B$, $C$, $K$ y $Q$ son todos distintos y están sobre $\Gamma$ en ese orden. Demostrar que la circunferencia circunscrita al triángulo $KQH$ es tangente a la circunferencia circunscrita al triángulo $FKM$.

Los puntos $P$ y $Q$ están en el lado $BC$ del triángulo acutángulo $ABC$ de modo que $\angle PAB=\angle BCA$ y $\angle CAQ=\angle ABC$. Los puntos $M$ y $N$ están en las rectas $AP$ y $AQ$, respectivamente, de modo que $P$ es el punto medio de $AM$, y $Q$ es el punto medio de $AN$. Demostrar que las rectas $BM$ y $CN$ se cortan en un punto de la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$.