Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Los puntos $P$ y $Q$ están en el lado $BC$ del triángulo acutángulo $ABC$ de modo que $\angle PAB=\angle BCA$ y $\angle CAQ=\angle ABC$. Los puntos $M$ y $N$ están en las rectas $AP$ y $AQ$, respectivamente, de modo que $P$ es el punto medio de $AM$, y $Q$ es el punto medio de $AN$. Demostrar que las rectas $BM$ y $CN$ se cortan en un punto de la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$.

En el cuadrilátero convexo $ABCD$, se tiene $\angle ABC = \angle CDA = 90^\circ$. La perpendicular a $BD$ desde $A$ corta a $BD$ en el punto $H$. Los puntos $S$ y $T$ están en los lados $AB$ y $AD$, respectivamente, y son tales que $H$ está dentro del triángulo $SCT$ y \[\angle CHS-\angle CSB=90^\circ,\qquad \angle THC-\angle DTC=90^\circ.\] Demostrar que la recta $BD$ es tangente a la circunferencia circunscrita del triángulo $TSH$.

Sea $AB$C un triángulo acutángulo con ortocentro $H$, y sea $W$ un punto sobre el lado $BC$, estrictamente entre $B$ y $C$. Los puntos $M$ y $N$ son los pies de las alturas trazadas desde $B$ y $C$, respectivamente. Se denota por $\omega_1$ la circunferencia que pasa por los vértices del triángulo $BWN$ y por el punto $X$ de $\omega_1$ tal que $WX$ es un diámetro de $\omega_1$. Análogamente, se denota por $\omega_2$ la circunferencia que pasa por los vértices del triángulo $CWM$, y por $Y$ el punto de $\omega_2$ tal que $WY$ es un diámetro de $\omega_2$. Demostrar que los puntos $X$, $Y$ y $H$ están alineados.

Supongamos que el excírculo del triángulo $ABC$ opuesto al vértice $A$ es tangente al lado $BC$ en el punto $A_1$. Análogamente, se definen los puntos $B_1$ en $CA$ y $C_1$ en $AB$, utilizando los excírculos opuestos a $B$ y $C$, respectivamente. Supongamos que el circuncentro del triángulo $A_1B_1C_1$ pertenece a la circunferencia que pasa por los vértices $A$, $B$ y $C$. Demostrar que el triángulo $ABC$ es rectángulo.

Nota. El excírculo del triángulo $ABC$ opuesto al vértice $A$ es la circunferencia que es tangente al segmento $BC$, a la prolongación del lado $AB$ más allá de $B$, y a la prolongación del lado $AC$ más allá de $C$. Análogamente se definen los excírculos opuestos a los vértices $B$ y $C$.

Sea $ABC$ un triángulo tal que $\angle BCA = 90^\circ$, y sea $D$ el pie de la altura desde $C$. Sea $X$ un punto interior del segmento $CD$. Sea $K$ el punto en el segmento $AX$ tal que $BK = BC$. Análogamente, sea $L$ el punto en el segmento $BX$ tal que $AL = AC$. Sea $M$ el punto de intersección de $AL$ y $BK$. Demostrar que $MK = ML$.