Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sea \(ABCD\) un cuadrilátero tal que \(AB = BC = CD = DA\). Sean los segmentos \(MN\) y \(PQ\), ambos perpendiculares a la diagonal \(BD\), y tales que la distancia entre ellos es \(d \gt BD/2\), con \(M \in AD\), \(N \in DC\), \(P \in AB\), y \(Q \in BC\). Demostrar que el perímetro del hexágono \(AMNCQP\) no depende de la posición de \(MN\) y \(PQ\) siempre que la distancia entre ellos permanezca constante.

Sea $C$ una circunferencia de radio $R$ y centro $O$, y sea $S$ un punto fijo en el interior de $C$. Sean $AA_0$ y $BB_0$ dos cuerdas perpendiculares que pasan por $S$. Se consideran los rectángulos $SAMB$, $SBN_0A_0$, $SA_0M_0B_0$ y $SB_0NA$. Hallar el conjunto de todos los puntos $M, N_0, M_0, N$ cuando $A$ recorre toda la circunferencia $C$.

Sea $PQRS$ un cuadrilátero cíclico tal que los segmentos $PQ$ y $RS$ no son paralelos. Consideramos el conjunto de todas las circunferencias que pasan por $P$ y $Q$, y el conjunto de todas las circunferencias que pasan por $R$ y $S$. Determinar el conjunto $A$ de puntos de tangencia de las circunferencias de estos dos conjuntos.

Sea $ABC$ un triángulo no degenerado, con circuncentro $O$, ortocentro $H$ y radio circunscrito $R$. Probar que $OH\lt 3R$.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero cuyos lados tienen todos la misma longitud y $\angle ABC=60^\circ$. Sea $\ell$ una recta que pasa por $D$ y no corta al cuadrilátero en ningún otro punto. Sean $E$ y $F$ los puntos de intersección de $\ell$ con $AB$ y $BC$, respectivamente. Sea $M$ el punto de intersección de $CE$ y $AF$. Demostrar que $CA^2=CM\cdot CE$.