Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Pongamos coordenadas de forma que $A=(0,0)$, $B=(c,0)$ y $C=(0,b)$. El teorema de la bisectriz nos dice que los segmentos $AM$ y $MB$ son proporcionales a $b$ y $a$, respectivamente; como suman $c$, tiene que ser $AM=\frac{bc}{a+b}$ y $MB=\frac{ac}{a+b}$. De la misma manera, se tiene que $AN=\frac{bc}{a+c}$ y $NC=\frac{ba}{a+c}$, luego tenemos las coordenadas $M=(\frac{bc}{a+b},0)$ y $N=(0,\frac{bc}{a+c})$. Por lo tanto, la recta $MN$ tiene ecuación $(a+b)x+(a+c)y=bc$ y, por su parte, la recta $AD$ tiene ecuación $cx-by=0$ (ya que pasa por $(0,0)$ y el vector $(c,-b)$ es un vector normal). La intersección de estas dos rectas es el punto \[P=\left(\frac{b^2c}{b^2+c^2+ab+ac},\frac{bc^2}{b^2+c^2+ab+ac}\right)=\left(\frac{b^2c}{a(a+b+c)},\frac{bc^2}{a(a+b+c)}\right),\] donde hemos simplificado usando que $a^2=b^2+c^2$ por el teorema de Pitágoras. La distancia de este punto al origen es \[AD=\sqrt{\left(\frac{b^2c}{a(a+b+c)}\right)^2+\left(\frac{bc^2}{a(a+b+c)}\right)^2}=\sqrt{\frac{b^2c^2(b^2+c^2)}{a^2(a+b+c)^2}}=\frac{bc}{a+b+c},\] donde hemos usado de nuevo el teorema de Pitágoras para simplificar. Esto último es igual al radio de la circunferencia inscrita (ver la nota), lo que concluye la demostración.

Nota. En un triángulo rectángulo de hipotenusa $a$ y catetos $b$ y $c$, el área se puede calcular como $\frac{1}{2}bc$, ya que los catetos hacen de base y altura, y también como $S=rp=\frac{1}{2}(a+b+c)r$. Igualando ambas expresiones, obtenemos que $r=\frac{bc}{a+b+c}$.

Solución. Sean $A'$ y $B'$ las proyecciones de $A$ y $B$ sobre la recta $OP$ y consideremos el ángulo $\theta=\angle BOP=\angle AOA'$, de forma que $OA'=OB'=r\cos\theta$ y $AA'=BB'=r\operatorname{sen}\theta$. El teorema de Pitágoras en los triángulos rectángulos $AA'P$ y $BB'P$ nos dice que \begin{align*} PA^2&=(AA')^2+(A'P)^2=r^2\operatorname{sen}^2\theta+(OP+r\cos\theta)^2,\\ PB^2&=(BB')^2+(B'P)^2=r^2\operatorname{sen}^2\theta+(OP-r\cos\theta)^2. \end{align*} Sumando ambas expresiones tenemos que $PA^2+PB^2=2OP^2+2r^2$, que no depende de la cuerda trazada y hemos demostrado así el apartado (a).

En cuanto al apartado (b), el área de $ABP$ se calcula como \[\operatorname{Area}(ABP)=\frac{1}{2}AB\cdot AA'=\frac{1}{2}2r\cos\theta\cdot r\operatorname{sen}\theta=r^2\operatorname{sen}(2\theta).\] Esta área es máxima claramente cuando $\operatorname{sen}(2\theta)=1$, es decir, cuando $\theta=45^\circ$, en cuyo caso obtenemos la longitud $AB=2r\cos\theta=r\sqrt{2}$.