Olimpiadas de Matemáticas
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La base de datos contiene 2434 problemas y 940 soluciones.
Problema 1615
Determinar todos los triángulos tales que las longitudes de los tres lados y su área estén dados por cuatro números naturales consecutivos.
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Problema 1614problema obsoleto
El punto $M$ varía sobre el segmento $AB$ que mide $2$ m.
- Hallar la ecuación y la representación gráfica del lugar geométrico de los puntos del plano cuyas coordenadas $x$ e $y$ son, respectivamente, las áreas de los cuadrados de lados $AM$ y $MB$.
- Averiguar qué clase de curva es. (Sugerencia: hacer un giro de ejes de $45^\circ)$.
- Hallar el área del recinto comprendido entre la curva obtenida y los ejes de coordenadas.
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Problema 1608
De entre los triángulos que tienen un lado de $5$ m de longitud y el ángulo opuesto de $30^\circ$, determinar el de área máxima, calculando el valor de los otros dos ángulos y el área del triángulo.
pistasolución 1info
Pista. Fijando el lado de $5$ m como base, encuentra el que tiene altura máxima.
Solución. Si fijamos el lado $AB=5$ como base, el vértice opuesto $C$ tiene que estar sobre el arco mayor de la circunferencia que fija pasa por $A$ y $B$ formada por los puntos del plano que ven $AB$ bajo un ángulo de $30^\circ$ (propiedad del arco capaz). Si $h$ es la altura sobre el lado $AB$, entonces el área será máxima cuando $h$ sea máxima, lo que nos dice claramente que $C$ debe ser el punto más alejado del arco y, por tanto, estará sobre la mediatriz de $AB$, esto es, el triángulo $ABC$ será isósceles y tendrá ángulos de $75^\circ$ en $A$ y $B$. Usando razones trigonométricas en el triángulo rectángulo $ACM$, siendo $M$ el punto medio de $AB$, tenemos que
\[h=\tfrac{5}{2}\tan(75^\circ)=\tfrac{5}{2}(2+\sqrt{3})\]
(¿sabrías demostrar que $\tan(75^\circ)=2+\sqrt{3}$?), luego el área estará dada por
\[S=\tfrac{1}{2}AB\cdot h=\tfrac{25}{4}(2+\sqrt{3}).\]
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Problema 1601problema obsoleto
Cierto profesor de Oxford, destinado a los servicios de criptografía del espionaje británico, papel interpretado por Dirk Bogarde en una película, recluta su personal proponiendo pequeños ejercicios de atención, como leer mentalmente una palabra al revés. Frecuentemente lo hace con su propio nombre, SEBASTIAN, que habrá que leer NAITSABES. Se pregunta si hay algún movimiento del plano o del espacio que transforme una de estas palabras en la otra, tal como aparecen escritas. ¿Y si se hubiera llamado AVITO, como un cierto personaje de Unamuno? Explicar razonadamente cada respuesta.
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Problema 1597
Se considera un triángulo $ABC$. Sea $D$ el punto de corte de la bisectriz correspondiente al ángulo $A$ con el lado $BC$. Demostrar que la circunferencia que pasa por $A$ y es tangente a la recta $BC$ en $D$, también es tangente a la circunferencia circunscrita al triángulo $ABC$.
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