Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Un depósito tiene forma de prisma hexagonal regular cuyas bases son de $1$ m de lado y su altura es de $10$ m. Se sitúan las aristas laterales en posición oblicua y se llena parcialmente con $9$ m$^3$ de agua. Sabiendo que el plano de la superficie libre del agua corta a todas las aristas laterales y que una de ellas queda con una parte de $2$ m bajo el agua. ¿Qué parte queda bajo el agua en la arista lateral opuesta del prisma?

En una circunferencia de radio igual a la unidad se trazan dos cuerdas $AB$ y $AC$ de igual longitud.

1. Averiguar cómo se puede construir una tercera cuerda $DE$ que quede dividida en tres partes iguales por las intersecciones con $AB$ y $AC$.
2. Si $AB=AC=\sqrt{2}$, ¿cuánto valen las longitudes de los dos segmentos que la cuerda $DE$ determina sobre $AB$?

Los tres lados de un triángulo equilátero se suponen reflectantes (excepto en los vértices), de forma que reflejen hacia dentro del triángulo los rayos de luz situados en su plano, que incidan sobre ellos y que salgan de un punto interior del triángulo. Determinar el recorrido de un rayo de luz que, partiendo de un vértice del triángulo alcance a otro vértice del mismo después de reflejarse sucesivamente en los tres lados. Calcular la longitud del camino seguido por la luz suponiendo que el lado del triángulo mide $1$ m.

En el plano se consideran los puntos $P=(8,2)$ y $Q=(5,11)$. Determinar el camino de longitud mínima para ir de $P$ a $Q$ con las siguientes condiciones: partiendo de $P$, llegamos a un punto del eje $x$ y recorremos un segmento de longitud $1$ a lo largo de este eje; después, nos separamos hasta llegar a un punto del eje $y$ y recorremos un segmento de longitud $2$ en este eje, para finalmente dirigirnos al punto $Q$. Hallar la longitud de dicho camino.

Se considera un triángulo equilátero de altura $1$. Para todo punto $P$ del interior del triángulo, se designan por $x, y, z$ las distancias de $P$ a los lados del triángulo.

1. Probar que $x+y+z=1$.
2. Determinar los puntos $P$ para los que la distancia a un lado es mayor que la suma de las distancias a los otros dos.
3. Tenemos una barra de longitud 1 y la rompemos en tres trozos. Hallar la probabilidad de que con estos trozos se pueda formar un triángulo.