Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sean $M$ y $K$ dos puntos en la circunferencia de centro $O_1$ y radio $r_1$. Consideremos una circunferencia de centro $O_2$ y radio $r_2$ inscrita en el ángulo $\angle MO_1K$. Hallar el área del cuadrilátero $MO_1KO_2$.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AB\neq AC$. Sea $I$ su incentro. Las rectas $BI$ y $CI$ intersecan a la circunferencia circunscrita de $ABC$ en $P\neq B$ y en $Q\neq C$, respectivamente. Se toman puntos $R$ y $S$ tales que $AQRB$ y $ACSP$ son paralelogramos (con $AQ$ paralela a $RB$, $AB$ paralela a $QR$, $AC$ paralela a $SP$ y $AP$ paralela a $CS$). Sea $T$ el punto de intersección de las rectas $RB$ y $SC$. Demostrar que los puntos $R$, $S$, $T$ e $I$ están sobre una misma circunferencia.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo. Tomamos puntos $D$ y $E$ de manera que $B$, $D$, $E$ y $C$ están sobre una recta (en ese orden) y tales que $BD=DE=EC$. Supongamos que el triángulo $ADE$ es acutángulo y sea $H$ su ortocentro. Sean $M$ y $N$ los puntos medios de los segmentos $AD$ y $AE$, respectivamente. Sean $P$ y $Q$ puntos en las rectas $BM$ y $CN$, respectivamente, tales que $D$, $H$, $M$ y $P$ son todos distintos entre sí y concíclicos y $E$, $H$, $N$ y $Q$ son todos distintos entre sí y concíclicos. Demostrar que $P$, $Q$, $N$ y $M$ también son concíclicos.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con circuncentro $O$ y ortocentro $H$, verificando $AB\lt AC$. La tangente en $A$ a la circunferencia circunscrita de $ABC$ corta a $BC$ en $T$. Sea $X$ el punto medio de $AH$. Demostrar que $\angle ATX = \angle OTB$.

El cuadrilátero cíclico $ABCD$ inscrito en la circunferencia $\Gamma$ verifica $AB=BC$ y $CD=DA$. Sea $E$ el punto de intersección de las diagonales $AC$ y $BD$. La circunferencia de centro $A$ y radio $AE$ corta a $\Gamma$ en dos puntos $F$ y $G$. Demostrar que la recta $FG$ es tangente a las circunferencias de diámetros $BE$ y $DE$.