Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Los tres lados de un triángulo equilátero se suponen reflectantes (excepto en los vértices), de forma que reflejen hacia dentro del triángulo los rayos de luz situados en su plano, que incidan sobre ellos y que salgan de un punto interior del triángulo. Determinar el recorrido de un rayo de luz que, partiendo de un vértice del triángulo alcance a otro vértice del mismo después de reflejarse sucesivamente en los tres lados. Calcular la longitud del camino seguido por la luz suponiendo que el lado del triángulo mide $1$ m.

En el plano se consideran los puntos $P=(8,2)$ y $Q=(5,11)$. Determinar el camino de longitud mínima para ir de $P$ a $Q$ con las siguientes condiciones: partiendo de $P$, llegamos a un punto del eje $x$ y recorremos un segmento de longitud $1$ a lo largo de este eje; después, nos separamos hasta llegar a un punto del eje $y$ y recorremos un segmento de longitud $2$ en este eje, para finalmente dirigirnos al punto $Q$. Hallar la longitud de dicho camino.

Se considera un triángulo equilátero de altura $1$. Para todo punto $P$ del interior del triángulo, se designan por $x, y, z$ las distancias de $P$ a los lados del triángulo.

1. Probar que $x+y+z=1$.
2. Determinar los puntos $P$ para los que la distancia a un lado es mayor que la suma de las distancias a los otros dos.
3. Tenemos una barra de longitud 1 y la rompemos en tres trozos. Hallar la probabilidad de que con estos trozos se pueda formar un triángulo.

Sean $C$ y $C'$ dos circunferencias concéntricas de radios $r$ y $r'$, respectivamente. Determinar cuánto ha de valer el cociente $r'/r$ para que en la corona limitada por $C$ y $C'$ existan ocho circunferencias $C_1,C_2,\ldots,C_8$ que sean tangentes a $C$ y $C'$ y también que cada $C_i$ sea tangente exterior a $C_{i+1}$ para $1\leq i\leq 7$ y $C_8$ sea tangente exterior a $C_1$.

Dadas tres circunferencias de radios $r$, $r'$ y $r''$, cada una tangente exteriormente a las otras dos, calcular el radio del círculo inscrito al triángulo cuyos vértices son los centros de las tres circunferencias.