Olimpiadas de Matemáticas
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La base de datos contiene 2434 problemas y 940 soluciones.
Problema 1557
Dadas dos rectas paralelas $r$ y $s$ y un punto $P$ sobre el plano que las contiene y no está sobre ellas. Determinar un triángulo equilátero que tenga por vértice el punto $P$ y los otros dos uno sobre cada una de las dos rectas.
pistasolución 1info
Pista. Usar una rotación de $60^\circ$ puede ser muy útil.
Solución. Consideremos una rotación de $60^\circ$ con centro en $P$ y sea $r'$ la imagen de $r$ por dicha rotación. Como $r'$ y $s$ no son paralelas, se cortarán en un cierto punto $Q'$ de $s$, que será el rotado de un cierto punto $Q$ de $r$ por construcción. Se tiene entonces que $PQQ'$ es el triángulo equilátero que buscamos.
Nota. Para cualquier punto $P$ hay exactamente dos triángulos en las condiciones dadas: el que se obtiene girando en sentido horario y el que se obtiene girando en sentido antihorario.
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Problema 1555
Sea un prisma hexagonal regular. ¿Cuál es la poligonal que, partiendo de un vértice de la base, recorre todas las caras laterales y acaba en el vértice de la cara superior, situado en la misma arista que el vértice de partida y tiene longitud mínima.
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Problema 1546
ASU, 1971-P9
Un polígono $P$ admite un círculo inscrito tangente a todos sus lados y de centro $O$. Si una recta $r$ divide a $P$ en dos polígonos con igual área, demuestra que $r$ pasa por $O$.
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Problema 1544
ASU, 1971-P7
Tenemos un sólido en el espacio que cumple que sus proyecciones ortogonales sobre dos planos distintos son círculos. Demostrar que ambos círculos tienen el mismo radio.
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Problema 1539
ASU, 1971-P2
- Sea $A_1A_2A_3$ un triángulo. Se eligen puntos $B_1,B_2,B_3$ en $A_1A_2,A_2A_3,A_3A_1$, respectivamente, y puntos $D_1,D_2,D_3$ en $A_3A_1,A_1A_2,A_2A_3$, respectivamente. Se definen los puntos $C_1,C_2,C_3$ para que $A_1B_1C_1D_1$, $A_2B_2C_2D_2$ y $A_3B_3C_3D_3$ sean paralelogramos. Demostrar que, si las rectas $A_1C_1,A_2C_2,A_3C_3$ son concurrentes, entonces \[A_1B_1\cdot A_2B_2\cdot A_3B_3=A_1D_1\cdot A_2D_2\cdot A_3D_3.\]
- Sea $A_1A_2\ldots A_n$ un polígno convexo y elegimos puntos $B_i$ en $A_iA_{i+1}$ y puntos $D_i$ en $A_{i-1}A_i$ para todo $1\leq i\leq n$ (siendo $A_{n+1}=A_1$. Se eligen los puntos $C_i$ para que $A_iB_iC_iD_i$ sean paralelogramos. Demostrar que, si las rectas $A_iC_i$ son concurrentes, entonces \[A_1B_1\cdot A_2B_2\cdots A_nB_n=A_1D_1\cdot A_2D_2\cdots A_nD_n.\]
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