Olimpiadas de Matemáticas
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La base de datos contiene 2434 problemas y 940 soluciones.
Problema 1544
ASU, 1971-P7
Tenemos un sólido en el espacio que cumple que sus proyecciones ortogonales sobre dos planos distintos son círculos. Demostrar que ambos círculos tienen el mismo radio.
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Problema 1539
ASU, 1971-P2
- Sea $A_1A_2A_3$ un triángulo. Se eligen puntos $B_1,B_2,B_3$ en $A_1A_2,A_2A_3,A_3A_1$, respectivamente, y puntos $D_1,D_2,D_3$ en $A_3A_1,A_1A_2,A_2A_3$, respectivamente. Se definen los puntos $C_1,C_2,C_3$ para que $A_1B_1C_1D_1$, $A_2B_2C_2D_2$ y $A_3B_3C_3D_3$ sean paralelogramos. Demostrar que, si las rectas $A_1C_1,A_2C_2,A_3C_3$ son concurrentes, entonces \[A_1B_1\cdot A_2B_2\cdot A_3B_3=A_1D_1\cdot A_2D_2\cdot A_3D_3.\]
- Sea $A_1A_2\ldots A_n$ un polígno convexo y elegimos puntos $B_i$ en $A_iA_{i+1}$ y puntos $D_i$ en $A_{i-1}A_i$ para todo $1\leq i\leq n$ (siendo $A_{n+1}=A_1$. Se eligen los puntos $C_i$ para que $A_iB_iC_iD_i$ sean paralelogramos. Demostrar que, si las rectas $A_iC_i$ son concurrentes, entonces \[A_1B_1\cdot A_2B_2\cdots A_nB_n=A_1D_1\cdot A_2D_2\cdots A_nD_n.\]
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Problema 1535
ASU, 1970-P12
Se tienen dos rectángulos congruentes en el plano de área $A$. Si sus lados se cortan en un total de $8$ puntos, demostrar que el área de la intersección es mayor que $\frac{A}{2}$.
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Problema 1533
ASU, 1970-P10
Sea $ABC$ un triángulo y llamemos $I$ a su incentro. Sea $M$ el punto medio de $BC$ y supongamos que $IM$ y $AH$ se cortan en un punto $E$. Demostrar que $AE$ es igual al radio de la circunferencia inscrita.
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Problema 1530
ASU, 1970-P7
Sea $ABC$ un triángulo acutángulo y supongamos que la bisectriz $AD$, la mediana $BM$ y la altura $CH$ concurren en un punto. Demostrar que $\angle BAC\gt 45^\circ$.
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