Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Se tienen dos rectángulos congruentes en el plano de área $A$. Si sus lados se cortan en un total de $8$ puntos, demostrar que el área de la intersección es mayor que $\frac{A}{2}$.

Sea $ABC$ un triángulo y llamemos $I$ a su incentro. Sea $M$ el punto medio de $BC$ y supongamos que $IM$ y $AH$ se cortan en un punto $E$. Demostrar que $AE$ es igual al radio de la circunferencia inscrita.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo y supongamos que la bisectriz $AD$, la mediana $BM$ y la altura $CH$ concurren en un punto. Demostrar que $\angle BAC\gt 45^\circ$.

¿Cuál es el mayor valor de $n$ para el que, en un polígono regular de $n$ lados, la longitud del lado es igual a la longitud de la diagonal más larga?

Sea $AB$ el diámetro de una circunferencia $\Gamma$ y $C$ un punto sobre $AB$. Construir dos puntos $X$ e $Y$ en $\Gamma$ simétricos respecto de $AB$ y tales que $YC$ es perpendicular a $XA$.