Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

¿Cuál es el mayor valor de $n$ para el que, en un polígono regular de $n$ lados, la longitud del lado es igual a la longitud de la diagonal más larga?

Sea $AB$ el diámetro de una circunferencia $\Gamma$ y $C$ un punto sobre $AB$. Construir dos puntos $X$ e $Y$ en $\Gamma$ simétricos respecto de $AB$ y tales que $YC$ es perpendicular a $XA$.

Sea $M$ un punto sobre el lado $AB$ de un triángulo $ABC$. Sean $r_1$, $r_2$ y $r$ los radios de las circunferencias inscritas de los triángulos $AMC$, $BMC$ y $ABC$. Sean $q_1$, $q_2$ y $q$ los radios de las circunferencias exinscritas de dichos triangulos que caen en el interior del ángulo $\angle ACB$. demostrar que \[\frac{r_1r_2}{q_1q_2}=\frac{r}{q}.\]

Se da un punto $M$ en el interior de una circunferencia, a una distancia $OM = d$ del centro $O$. Por $M$ se trazan dos cuerdas $AB$ y $CD$ que forman un ángulo recto. Se une $A$ con $C$ y $B$ con $D$. Determinar el coseno del ángulo que ha de formar la cuerda $AB$ con $OM$ para que la suma de las áreas de los triángulos $AMC$ y $BMD$ sea mínima.

Dada una circunferencia $\Gamma$ en el plano y dos puntos $A$ y $B$, se traza por $B$ una secante variable que corta a $\Gamma$ en dos puntos $M$ y $N$. Determinar el lugar geométrico de los centros de las circunferencias circunscritas al triángulo $AMN$.