Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sea $M$ un punto sobre el lado $AB$ de un triángulo $ABC$. Sean $r_1$, $r_2$ y $r$ los radios de las circunferencias inscritas de los triángulos $AMC$, $BMC$ y $ABC$. Sean $q_1$, $q_2$ y $q$ los radios de las circunferencias exinscritas de dichos triangulos que caen en el interior del ángulo $\angle ACB$. demostrar que \[\frac{r_1r_2}{q_1q_2}=\frac{r}{q}.\]

Se da un punto $M$ en el interior de una circunferencia, a una distancia $OM = d$ del centro $O$. Por $M$ se trazan dos cuerdas $AB$ y $CD$ que forman un ángulo recto. Se une $A$ con $C$ y $B$ con $D$. Determinar el coseno del ángulo que ha de formar la cuerda $AB$ con $OM$ para que la suma de las áreas de los triángulos $AMC$ y $BMD$ sea mínima.

Dada una circunferencia $\Gamma$ en el plano y dos puntos $A$ y $B$, se traza por $B$ una secante variable que corta a $\Gamma$ en dos puntos $M$ y $N$. Determinar el lugar geométrico de los centros de las circunferencias circunscritas al triángulo $AMN$.

Se da un triángulo arbitrario $ABC$ y un punto $P$ situado en el lado $AB$. Se pide construir una recta que pase por $P$ y divida al triángulo en dos figuras de la misma área.

Un recipiente cilíndrico de revolución está parcialmente lleno de un líquido cuya densidad ignoramos. Situándolo con el eje inclinado $30^\circ$ respecto de la vertical, se observa que al sacar líquido de modo que el nivel descienda $1$cm, el peso del contenido disminuye $40$g. ¿Cuánto disminuirá el peso de ese contenido por cada centímetro que descienda el nivel si el eje forma un ángulo de $45^\circ$ con la vertical? Se supone que la superficie horizontal del líquido no llega a tocar ninguna de les bases del recipiente.