Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Se da un triángulo arbitrario $ABC$ y un punto $P$ situado en el lado $AB$. Se pide construir una recta que pase por $P$ y divida al triángulo en dos figuras de la misma área.

Un recipiente cilíndrico de revolución está parcialmente lleno de un líquido cuya densidad ignoramos. Situándolo con el eje inclinado $30^\circ$ respecto de la vertical, se observa que al sacar líquido de modo que el nivel descienda $1$cm, el peso del contenido disminuye $40$g. ¿Cuánto disminuirá el peso de ese contenido por cada centímetro que descienda el nivel si el eje forma un ángulo de $45^\circ$ con la vertical? Se supone que la superficie horizontal del líquido no llega a tocar ninguna de les bases del recipiente.

Hallar una inversión que transforma dos circunferencias concéntricas dadas en el plano en dos circunferencias iguales.

Se tiene un pentágono con sus cinco lados iguales.

1. Demostrar que hay un punto $X$ sobre la diagonal más larga tal que cada lado del pentágono se ve con un ángulo de a lo sumo $90^\circ$.
2. Demostrar que los cinco círculos que tienen por diámetros los lados del pentágono no cubren todo el pentágono.

Se tienen $n$ puntos en el espacio tales que el triángulo que forman tres cualesquiera de ellos tiene un ángulo mayor que $120^\circ$. Demostrar que los puntos pueden etiquetarse con números enteros del $1$ al $n$ de forma que el ángulo que forman los vértices $i$, $i+1$ e $i+2$ es mayor que $120^\circ$ para todo $1\leq i\leq n-2$.