Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sea $ABC$ un triángulo no degenerado, con circuncentro $O$, ortocentro $H$ y radio circunscrito $R$. Probar que $OH\lt 3R$.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero cuyos lados tienen todos la misma longitud y $\angle ABC=60^\circ$. Sea $\ell$ una recta que pasa por $D$ y no corta al cuadrilátero en ningún otro punto. Sean $E$ y $F$ los puntos de intersección de $\ell$ con $AB$ y $BC$, respectivamente. Sea $M$ el punto de intersección de $CE$ y $AF$. Demostrar que $CA^2=CM\cdot CE$.

En un círculo $C$ con centro $O$ y radio $r$, sean $C_1$ y $C_2$ dos círculos con centros $O_1$ y $O_2$ y radios $r_1$ y $r_2$ respectivamente, tales que cada círculo $C_i$ es tangente internamente a $C$ en $A_i$, y además $C_1$, $C_2$ son tangentes externamente en $A$. Demostrar que las tres rectas $OA$, $O_1A_2$ y $O_2A_1$ son concurrentes.

Se tiene un triángulo con lados $a$, $b$ y $c$. Denotemos por $s$ al semiperímetro, es decir, $s = (a+b+c)/2$. Construimos un triángulo con lados $s-a$, $s-b$ y $s-c$. Este proceso se repite hasta que ya no sea posible construir un triángulo con las longitudes de lado dadas. ¿Para qué triángulos originales puede repetirse este proceso indefinidamente?

Dados dos círculos tangentes y un punto $P$ sobre su tangente común perpendicular a la línea que une sus centros. Construir con regla y compás todos los círculos que son tangentes a estos dos y que pasan por el punto $P$.