Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Hallar una inversión que transforma dos circunferencias concéntricas dadas en el plano en dos circunferencias iguales.

Se tiene un pentágono con sus cinco lados iguales.

1. Demostrar que hay un punto $X$ sobre la diagonal más larga tal que cada lado del pentágono se ve con un ángulo de a lo sumo $90^\circ$.
2. Demostrar que los cinco círculos que tienen por diámetros los lados del pentágono no cubren todo el pentágono.

Se tienen $n$ puntos en el espacio tales que el triángulo que forman tres cualesquiera de ellos tiene un ángulo mayor que $120^\circ$. Demostrar que los puntos pueden etiquetarse con números enteros del $1$ al $n$ de forma que el ángulo que forman los vértices $i$, $i+1$ e $i+2$ es mayor que $120^\circ$ para todo $1\leq i\leq n-2$.

Sea $ABCD$ un trapecio con $BC$ paralelo a $AD$, se tiene un punto $E$ en el segmento $AD$ tal que los perímetros de los triángulos $ABE$, $BCE$ y $CDE$ son iguales. Demostrar que $BC=\frac{1}{2}AD$.

Se tiene una semicircunferencia $\gamma$ con diámetro $AB$ y $C$ un punto sobre $\gamma$ distinto de $A$ y $B$. Sea $D$ el pie de la perpendicular a $AB$ que pasa por $C$. Consideramos tres círculos $\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3$ tangentes a la recta $AB$, de forma que $\gamma_1$ está inscrito en el triángulo $ABC$, mientras que $\gamma_2$ y $\gamma_3$ son ambos tangentes a $CD$ y a $\gamma$, uno a cada lado de $CD$. Demostrar que $\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3$ tienen una recta tangente común distinta de $AB$.