Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Se tienen $n$ puntos en el espacio tales que el triángulo que forman tres cualesquiera de ellos tiene un ángulo mayor que $120^\circ$. Demostrar que los puntos pueden etiquetarse con números enteros del $1$ al $n$ de forma que el ángulo que forman los vértices $i$, $i+1$ e $i+2$ es mayor que $120^\circ$ para todo $1\leq i\leq n-2$.

Sea $ABCD$ un trapecio con $BC$ paralelo a $AD$, se tiene un punto $E$ en el segmento $AD$ tal que los perímetros de los triángulos $ABE$, $BCE$ y $CDE$ son iguales. Demostrar que $BC=\frac{1}{2}AD$.

Se tiene una semicircunferencia $\gamma$ con diámetro $AB$ y $C$ un punto sobre $\gamma$ distinto de $A$ y $B$. Sea $D$ el pie de la perpendicular a $AB$ que pasa por $C$. Consideramos tres círculos $\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3$ tangentes a la recta $AB$, de forma que $\gamma_1$ está inscrito en el triángulo $ABC$, mientras que $\gamma_2$ y $\gamma_3$ son ambos tangentes a $CD$ y a $\gamma$, uno a cada lado de $CD$. Demostrar que $\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3$ tienen una recta tangente común distinta de $AB$.

Para cada entero $1\leq k\leq 5$, encontrar condiciones necesarias y suficientes para que un número $a\gt 0$ cumpla que existe un tetraedro con $k$ aristas de longitud $a$ y $6-k$ aristas de longitud $1$.

Un polígono convexo $A_1A_2\ldots A_n$ de $n$ lados inscrito en una circunferencia tiene sus lados que satisfacen las desigualdades \[A_nA_1\gt A_1A_2\gt A_2A_3\gt\cdots A_{n-1}A_n.\] Demostrar que sus ángulos interiores satisfacen las desigualdades \[\widehat{A}_1\lt\widehat{A}_2\lt\widehat{A}_3\lt\cdots\lt \widehat{A}_{n-1}\quad\text{y}\quad \widehat{A}_{n-1}\gt\widehat{A}_n\gt \widehat{A}_1.\]