Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Para cada entero $1\leq k\leq 5$, encontrar condiciones necesarias y suficientes para que un número $a\gt 0$ cumpla que existe un tetraedro con $k$ aristas de longitud $a$ y $6-k$ aristas de longitud $1$.

Un polígono convexo $A_1A_2\ldots A_n$ de $n$ lados inscrito en una circunferencia tiene sus lados que satisfacen las desigualdades \[A_nA_1\gt A_1A_2\gt A_2A_3\gt\cdots A_{n-1}A_n.\] Demostrar que sus ángulos interiores satisfacen las desigualdades \[\widehat{A}_1\lt\widehat{A}_2\lt\widehat{A}_3\lt\cdots\lt \widehat{A}_{n-1}\quad\text{y}\quad \widehat{A}_{n-1}\gt\widehat{A}_n\gt \widehat{A}_1.\]

Se divide una circunferencia de radio $R$ en ocho partes iguales. Los puntos de división se designan sucesivamente por $A$, $B$, $C$, $D$, $E$, $F$, $G$ y $H$. Hallar el área del cuadrado formado al dibujar las cuerdas $AF$, $BE$, $CH$ y $DG$.

Hallar el lugar geométrico de los afijos de los números complejos $z$ tales que los afijos $z$, $i$ e $iz$ están alineados.