Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Se divide una circunferencia de radio $R$ en ocho partes iguales. Los puntos de división se designan sucesivamente por $A$, $B$, $C$, $D$, $E$, $F$, $G$ y $H$. Hallar el área del cuadrado formado al dibujar las cuerdas $AF$, $BE$, $CH$ y $DG$.

Hallar el lugar geométrico de los afijos de los números complejos $z$ tales que los afijos $z$, $i$ e $iz$ están alineados.

Hallar el lugar geométrico de los centros de las inversiones que transforman dos puntos $A$ y $B$ de una circunferencia dada $\Gamma$ en puntos diametralmente opuestos de las circunferencias inversas de $\Gamma$.

Las medianas de un triángulo lo dividen en 6 triángulos más pequeños. Si cuatro de estos triángulos tienen circunferencias inscritas de igual radio, demostrar que el triángulo original es equilátero.

La circunferencia inscrita en el triángulo $ABC$ es tangente al lado $AC$ en el punto $K$. Demostrar que la recta que une el punto medio de $AC$ con el centro de la circunferencia corta al segmento $BK$ en su punto medio.