Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Hallar el lugar geométrico de los centros de las inversiones que transforman dos puntos $A$ y $B$ de una circunferencia dada $\Gamma$ en puntos diametralmente opuestos de las circunferencias inversas de $\Gamma$.

Las medianas de un triángulo lo dividen en 6 triángulos más pequeños. Si cuatro de estos triángulos tienen circunferencias inscritas de igual radio, demostrar que el triángulo original es equilátero.

La circunferencia inscrita en el triángulo $ABC$ es tangente al lado $AC$ en el punto $K$. Demostrar que la recta que une el punto medio de $AC$ con el centro de la circunferencia corta al segmento $BK$ en su punto medio.

Dado un tetraedro regular $ABCD$, demostrar que está contenido en las tres esferas que tienen por diámetros $AB$, $BC$ y $AD$. ¿Es cierto el mismo resultado para cualquier tetraedro no necesariamente regular?

Sea $ABC$ un triángulo y tomemos un punto $D$ en el segmento $AB$ y otro punto $E$ en el segmento $AC$ tales que $DE$ sea paralela a $BC$ y se cumplan las igualdades $AD=DE=AC$ y $BD=AE$. Demostrar que $BD$ es igual al lado de un decágono regular inscrito en un círculo de radio $AC$.