Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Dado un tetraedro regular $ABCD$, demostrar que está contenido en las tres esferas que tienen por diámetros $AB$, $BC$ y $AD$. ¿Es cierto el mismo resultado para cualquier tetraedro no necesariamente regular?

Sea $ABC$ un triángulo y tomemos un punto $D$ en el segmento $AB$ y otro punto $E$ en el segmento $AC$ tales que $DE$ sea paralela a $BC$ y se cumplan las igualdades $AD=DE=AC$ y $BD=AE$. Demostrar que $BD$ es igual al lado de un decágono regular inscrito en un círculo de radio $AC$.

Sean $O$ y $O'$ puntos en el interior de sendos triángulos acutángulos $ABC$ y $A'B'C'$. Sean $D,E,F$ los pies de las perpendiculares desde $O$ a los lados $BC,CA,AB$, respectivamente, y sean $D',E',F'$ los pies de las perpendiculares desde $O'$ a los lados $B'C',C'A',A'B'$, respectivamente. Supongamos que $OD$ es paralela a $O'A'$, que $OE$ es paralela a $O'B'$ y que $OF$ es paralela a $O'C'$. También supongamos que $OD\cdot O'A'=OE\cdot O'B'=OF\cdot O'C'$. Demostrar que $O'D'$ es paralela a $OA$, $O'E'$ es paralela a $OB$ y $O'F'$ es paralela a $OC$, y que $O'D'\cdot OA=O'E'\cdot OB=O'F'\cdot OC$.

Hallar todos los valores de $n$ tales que la diferencia entre la diagonal más larga y la más corta de un polígono regular de $n$ lados sea igual al lado del polígono.

Demostrar que hay un único triángulo cuyas longitudes de los lados son enteros consecutivos y tal que uno de sus ángulos es el doble de otro.