Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sean $O$ y $O'$ puntos en el interior de sendos triángulos acutángulos $ABC$ y $A'B'C'$. Sean $D,E,F$ los pies de las perpendiculares desde $O$ a los lados $BC,CA,AB$, respectivamente, y sean $D',E',F'$ los pies de las perpendiculares desde $O'$ a los lados $B'C',C'A',A'B'$, respectivamente. Supongamos que $OD$ es paralela a $O'A'$, que $OE$ es paralela a $O'B'$ y que $OF$ es paralela a $O'C'$. También supongamos que $OD\cdot O'A'=OE\cdot O'B'=OF\cdot O'C'$. Demostrar que $O'D'$ es paralela a $OA$, $O'E'$ es paralela a $OB$ y $O'F'$ es paralela a $OC$, y que $O'D'\cdot OA=O'E'\cdot OB=O'F'\cdot OC$.

Hallar todos los valores de $n$ tales que la diferencia entre la diagonal más larga y la más corta de un polígono regular de $n$ lados sea igual al lado del polígono.

Demostrar que hay un único triángulo cuyas longitudes de los lados son enteros consecutivos y tal que uno de sus ángulos es el doble de otro.

Razonar si en todo tetraedro son concurrentes:

1. Las perpendiculares a las caras en sus circuncentros.
2. Las perpendiculares a las caras en sus ortocentros.
3. Las perpendiculares a las caras en sus incentros.

En caso afirmativo, caracterizar con alguna propiedad geométrica sencilla el punto en que concurren. En caso negativo, mostrar un ejemplo en el que se aprecie claramente la no concurrencia.

Hallar el lugar geométrico de los centros de los rectángulos cuyos cuatro vértices están sobre los lados de un triángulo dado.