Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Razonar si en todo tetraedro son concurrentes:

1. Las perpendiculares a las caras en sus circuncentros.
2. Las perpendiculares a las caras en sus ortocentros.
3. Las perpendiculares a las caras en sus incentros.

En caso afirmativo, caracterizar con alguna propiedad geométrica sencilla el punto en que concurren. En caso negativo, mostrar un ejemplo en el que se aprecie claramente la no concurrencia.

Hallar el lugar geométrico de los centros de los rectángulos cuyos cuatro vértices están sobre los lados de un triángulo dado.

En los dos extremos $A$ y $B$ de un diámetro de longitud $2r$ de un pavimento circular horizontal se levantan sendas columnas verticales, de igual altura $h$, cuyos extremos soportan una viga $A'B'$ de longitud igual a $2r$. Se forma una cubierta colocando numerosos cables tensos (que se admite que quedan rectilíneos), uniendo puntos de la viga $A'B'$ con puntos de la circunferencia borde del pavimento, de manera que los cables queden perpendiculares a la viga $A'B'$. ¿Cuál es el volumen encerrado entre la cubierta y el pavimento?

Dado un cuadrado cuyo lado mide $a$, se considera el conjunto de todos los puntos de su plano por los que pasa una circunferencia de radio a cuyo círculo contenga al cuadrado citado. Probar que el contorno de la figura formada por los puntos con esa propiedad está formado por arcos de circunferencia y determinar las posiciones de sus centros, sus radios y sus longitudes.

Se tiene un triángulo equilátero $ABC$ de centro $O$ y radio $OA=R$ y se consideran las siete regiones que las rectas que contienen los lados determinan sobre el plano. Se pide dibujar y describir la región del plano tansformada de las dos regiones sombreadas en la figura por la inversión de centro $O$ y potencia $R^2$.