Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Una circunferencia con centro en un punto $O$ pasa por los vértices $A$ y $C$ de un triángulo $ABC$ y corta a los lados $AB$ y $BC$ de nuevo en puntos distintos $K$ y $N$, respectivamente. Las circunferencias circunscritas de los triángulos $ABC$ y $EBN$ se cortan en exactamente dos puntos: $B$ y otro punto $M$. Demostrar que el ángulo $\angle OMB$ es recto.

Una circunferencia tiene su centro en el lado $AB$ de un cuadrilátero cíclico $ABCD$. Los otros tres lados de $ABCD$ son tangentes a dicha circunferencia. Probar que $AD+BC=AB$.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo tal que la recta $CD$ es tangente a la circunferencia que tiene a $AB$ por diámetro. Demostrar que la recta $AB$ es tangente a la circunferencia que tiene a $CD$ por diámetro si, y sólo si, las rectas $BC$ y $AD$ son paralelas.

Sean $a$, $b$ y $c$ las longitudes de los lados de un triángulo. Demostrar que \[a^2b(a-b)+b^2c(b-c)+c^2a(c-a)\geq 0\] y determinar bajo qué condiciones se tiene una igualdad.

Sea $A$ uno de los dos puntos de intersección de dos circunferencias $C_1$ y $C_2$ de distintos radios, cuyos centros denotamos por $O_1$ y $O_2$, respectivamente. Una de las tangentes comunes a los círculos toca a $C_1$ en $P_1$ y a $C_2$ en $P_2$, mientras que la otra tangente común toca a $C_1$ en $Q_1$ y a $C_2$ en $Q_2$. Sea $M_1$ el punto medio de $P_1Q_1$ y $M_2$ el punto medio de $P_2Q_2$. Demostrar que $\angle O_1AO_2=\angle M_1AM_2$.