Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

En los dos extremos $A$ y $B$ de un diámetro de longitud $2r$ de un pavimento circular horizontal se levantan sendas columnas verticales, de igual altura $h$, cuyos extremos soportan una viga $A'B'$ de longitud igual a $2r$. Se forma una cubierta colocando numerosos cables tensos (que se admite que quedan rectilíneos), uniendo puntos de la viga $A'B'$ con puntos de la circunferencia borde del pavimento, de manera que los cables queden perpendiculares a la viga $A'B'$. ¿Cuál es el volumen encerrado entre la cubierta y el pavimento?

Dado un cuadrado cuyo lado mide $a$, se considera el conjunto de todos los puntos de su plano por los que pasa una circunferencia de radio a cuyo círculo contenga al cuadrado citado. Probar que el contorno de la figura formada por los puntos con esa propiedad está formado por arcos de circunferencia y determinar las posiciones de sus centros, sus radios y sus longitudes.

Se tiene un triángulo equilátero $ABC$ de centro $O$ y radio $OA=R$ y se consideran las siete regiones que las rectas que contienen los lados determinan sobre el plano. Se pide dibujar y describir la región del plano tansformada de las dos regiones sombreadas en la figura por la inversión de centro $O$ y potencia $R^2$.

Sea $\gamma$ una semicircunferencia de diámetro $AB$. Se construye una línea poligonal con origen en $A$ y que tiene sus vértices alternativamente en el diámetro $AB$ y en la semicircunferencia $\gamma$, de modo que sus lados forman ángulos iguales $\alpha$ con el diámetro, como se muestra en la figura.

1. Hallar los valores del ángulo $\alpha$ para que la poligonal pase por el otro extremo $B$ del diámetro.
2. La longitud total de la poligonal, en el caso que termine en $B$, en función de la longitud $d$ del diámetro y del ángulo $\alpha$.

Determinar los polos de las inversiones que transforman cuatro puntos $A,B,C,D$ alineados en este orden en cuatro puntos $A',B',C',D'$ que sean vértices de un rectángulo y tales que $A'$ y $C'$ sean vértices opuestos.