Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo tal que la recta $CD$ es tangente a la circunferencia que tiene a $AB$ por diámetro. Demostrar que la recta $AB$ es tangente a la circunferencia que tiene a $CD$ por diámetro si, y sólo si, las rectas $BC$ y $AD$ son paralelas.

Sean $a$, $b$ y $c$ las longitudes de los lados de un triángulo. Demostrar que \[a^2b(a-b)+b^2c(b-c)+c^2a(c-a)\geq 0\] y determinar bajo qué condiciones se tiene una igualdad.

Sea $A$ uno de los dos puntos de intersección de dos circunferencias $C_1$ y $C_2$ de distintos radios, cuyos centros denotamos por $O_1$ y $O_2$, respectivamente. Una de las tangentes comunes a los círculos toca a $C_1$ en $P_1$ y a $C_2$ en $P_2$, mientras que la otra tangente común toca a $C_1$ en $Q_1$ y a $C_2$ en $Q_2$. Sea $M_1$ el punto medio de $P_1Q_1$ y $M_2$ el punto medio de $P_2Q_2$. Demostrar que $\angle O_1AO_2=\angle M_1AM_2$.

Sea $S$ un cuadrado con lados de longitud $100$ y sea $L$ un camino interior a $S$ que no pasa dos veces por el mismo punto y está compuesto de segmentos rectilíneos $A_0A_1,A_1A_2,\ldots,A_{n-1}A_n$ con $A_0\neq A_n$. Supongamos que para todo punto $P$ del borde de $S$ hay un punto de $L$ a distancia de $P$ no mayor que $1/2$. Demostrar que hay dos puntos $X$ e $Y$ en $L$ tales que la distancia entre $X$ e $Y$ no es mayor que $1$ y la longitud de la parte de $L$ que queda entre $X$ e $Y$ no es menor que $198$.

Las diagonales $AC$ y $CE$ de un hexágono regular $ABCDEF$ quedan divididas por puntos interiores $M$ y $N$, respectivamente, de forma que \[\frac{AM}{AC}=\frac{CN}{CE}=r.\] Hallar los valores de $r$ para los que los puntos $B,M,N$ están alineados.