Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sea $\gamma$ una semicircunferencia de diámetro $AB$. Se construye una línea poligonal con origen en $A$ y que tiene sus vértices alternativamente en el diámetro $AB$ y en la semicircunferencia $\gamma$, de modo que sus lados forman ángulos iguales $\alpha$ con el diámetro, como se muestra en la figura.

1. Hallar los valores del ángulo $\alpha$ para que la poligonal pase por el otro extremo $B$ del diámetro.
2. La longitud total de la poligonal, en el caso que termine en $B$, en función de la longitud $d$ del diámetro y del ángulo $\alpha$.

Determinar los polos de las inversiones que transforman cuatro puntos $A,B,C,D$ alineados en este orden en cuatro puntos $A',B',C',D'$ que sean vértices de un rectángulo y tales que $A'$ y $C'$ sean vértices opuestos.

La longitud de la hipotenusa $BC$ de un triángulo rectángulo $ABC$ es $a$ y sobre ella se toman los puntos $M$ y $N$ tales que $BM = NC = k$, con $k\lt\frac{a}{2}$. En función de estos datos $a$ y $k$, calcular:

1. El valor de la suma de los cuadrados de las longitudes $AM$ y $AN$.
2. La razón de las áreas de los triángulos $ABC$ y $AMN$.
3. El área encerrada por la circunferencia que pasa por los puntos $A$ , $M'$ y $N'$, siendo $M'$ la proyección ortogonal de $M$ sobre $AC$ y $N'$ la de $N$ sobre $AB$.

Dado un pentágono regular, se considera el pentágono convexo delimitado por sus diagonales. Se pide calcular:

1. La relación de semejanza entre los dos pentágonos convexos.
2. La relación de sus áreas.
3. La razón de la homotecia que transforma el primero en el segundo.

Sea $\gamma_1$ una circunferencia de radio $r$ y $P$ un punto exterior que dista $a$ de su centro. Se suponen construidas las dos rectas tangentes a $\gamma_1$ desde $P$ y sea $\gamma_2$ una circunferencia de radio menor que el de $\gamma_1$ tangente a esas dos rectas y a $\gamma_1$. En general, una vez construida la circunferencia $\gamma_n$, se construye otra circunferencia $\gamma_{n+1}$ de radio menor que el de $\gamma_n$, tangente a las dos rectas citadas y a $\gamma_n$. Determinar

1. El radio de $\gamma_2$.
2. La expresión general del radio de $\gamma_n$.
3. El límite de la suma de las longitudes de las circunferencias $\gamma_1,\gamma_2,\ldots,\gamma_n,\ldots$