Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Se tiene un triángulo con lados $a$, $b$ y $c$. Denotemos por $s$ al semiperímetro, es decir, $s = (a+b+c)/2$. Construimos un triángulo con lados $s-a$, $s-b$ y $s-c$. Este proceso se repite hasta que ya no sea posible construir un triángulo con las longitudes de lado dadas. ¿Para qué triángulos originales puede repetirse este proceso indefinidamente?

Dados dos círculos tangentes y un punto $P$ sobre su tangente común perpendicular a la línea que une sus centros. Construir con regla y compás todos los círculos que son tangentes a estos dos y que pasan por el punto $P$.

Sea $G$ el baricentro de un triángulo $ABC$ y $M$ el punto medio de $BC$. Sea $X$ e $Y$ puntos en $AB$ y $AC$, respectivamente, que están alineados con $G$ de forma que $XY$ y $BC$ son paralelas. Supongamos que $XC$ y $GB$ se cortan en $Q$ y que $YB$ y $GC$ se cortan en $P$.Demostrar que el triángulo $MPQ$ es semejante al triángulo $ABC$.

Consideremos todos los triángulos $ABC$ con una base fija $AB$ y cuya altura desde el vértice $C$ es una constante $h$. ¿Para cuál de dichos triángulos es el producto de las alturas máximo?

Dado un triángulo $ABC$, sean $D,E,F$ los puntos medios de $BC,AC,AB$, respectivamente, y sea $G$ el baricentro del triángulo. Para cada valor del ángulo $\angle BAC$, determinar el número de triángulos no semejantes podemos encontrar en los que $AEGF$ sea un cuadrilátero cíclico.