Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sean $a,b,c$ las longitudes de los lados de un triángulo y $\alpha,\beta,\gamma$, respectivamente, sus ángulos opuestos. Demostrar que si se cumple que \[a+b=(a\tan\alpha+b\tan\beta)\tan\tfrac{\gamma}{2},\] entonces el triángulo es isósceles.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo y sea $I$ el punto de intersección de sus diagonales. Se tienen además puntos $E,H,F,G$ en $AB,BC,CD,DA$, respectivamente, tales que $EF$ y $GH$ se cortan también en $I$. Si $M$ es la intersección de $EG$ y $AC$ y $N$ es la intersección de $HF$ y $AC$, demostrar que \[\frac{AM}{IM}\cdot\frac{IN}{CN}=\frac{IA}{IC}.\]

Sean $\Gamma$ y $\Gamma'$ dos circunferencias congruentes con centros $O$ y $O'$, respectivamente, y sea $A$ uno de sus puntos de interesección. Sean $B$ un punto de $\Gamma$, $C$ el segundo punto de intersección de $AB$ y $\Gamma'$ y $D$ un punto de $\Gamma'$ tal que $OBDO'$ es un paralelogramo. Demostrar que la longitud de $CD$ no depende de la posición de $B$.

En un triángulo acutángulo $ABC$, sean $H$ su ortocentro y $M$ el punto medio de lado $AC$. Por $M$ se traza una recta $\ell$ paralela a la bisectriz del ángulo $\angle AHC$. Demostrar que la recta $\ell$ divide al triángulo $ABC$ en dos partes que tienen el mismo perímetro.

En el triángulo $ABC$, sean $P$, $Q$ y $R$ los puntos de tangencia del incírculo en los lados $AB$, $BC$ y $AC$, respectivamente. Sean $L$, $M$ y $N$ los pies de las alturas del triángulo $PQR$ en $PQ$, $QR$ y $PR$, respectivamente.

1. Demostrar que las rectas $AN$, $BL$ y $CM$ se cortan en el mismo punto.
2. Demostrar que este punto común está en la recta que pasa por el ortocentro y el circuncentro del triángulo $PQR$.