Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

En un triángulo acutángulo $ABC$, sean $H$ su ortocentro y $M$ el punto medio de lado $AC$. Por $M$ se traza una recta $\ell$ paralela a la bisectriz del ángulo $\angle AHC$. Demostrar que la recta $\ell$ divide al triángulo $ABC$ en dos partes que tienen el mismo perímetro.

En el triángulo $ABC$, sean $P$, $Q$ y $R$ los puntos de tangencia del incírculo en los lados $AB$, $BC$ y $AC$, respectivamente. Sean $L$, $M$ y $N$ los pies de las alturas del triángulo $PQR$ en $PQ$, $QR$ y $PR$, respectivamente.

1. Demostrar que las rectas $AN$, $BL$ y $CM$ se cortan en el mismo punto.
2. Demostrar que este punto común está en la recta que pasa por el ortocentro y el circuncentro del triángulo $PQR$.

Sea $ABCD$ un trapecio tal que $AB$ es paralelo a $CD$ y $AB+CD=AD$. Sea $P$ el punto sobre $AD$ tal que $AP=AB$ y $PD=CD$.

1. Demostrar que $\angle BPC=90^\circ$.
2. Sean $Q$ el punto medio de $BC$ y $R$ el punto de corte de la recta $AD$ y la circunferencia que pasa por los puntos $B$, $A$ y $Q$, con $R\neq A$. Demostrar que los puntos $B$, $P$, $R$ y $C$ están sobre una misma circunferencia.

Sea $ABC$ un triángulo. Sean $E$ y $F$ puntos en los segmentos $BC$ y $CA$, respectivamente, tales que \[\frac{CE}{CB}+\frac{CF}{CA}=1\qquad \text{y}\qquad \angle CEF=\angle CAB.\] Sean $M$ el punto medio del segmento $EF$ y $G$ el punto de corte de la recta $CM$ con el segmento $AB$. Demostrar que el triangulo $FEG$ es semejante al triangulo $ABC$.

Sea $AB$ un diámetro de una circunferencia $S$ con centro $O$ y de radio $1$. Sean $C$ y $D$ dos puntos tales que $AC$ y $BD$ se cortan en un punto $Q$ situado en el interior de $S$ y $\angle AQD=2\angle COD$. Sea $P$ el punto de corte de las tangentes a $S$ que pasan por los puntos $C$ y $D$. Determinar la longitud del segmento $OP$.