Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sea $ABCD$ un trapecio tal que $AB$ es paralelo a $CD$ y $AB+CD=AD$. Sea $P$ el punto sobre $AD$ tal que $AP=AB$ y $PD=CD$.

1. Demostrar que $\angle BPC=90^\circ$.
2. Sean $Q$ el punto medio de $BC$ y $R$ el punto de corte de la recta $AD$ y la circunferencia que pasa por los puntos $B$, $A$ y $Q$, con $R\neq A$. Demostrar que los puntos $B$, $P$, $R$ y $C$ están sobre una misma circunferencia.

Sea $ABC$ un triángulo. Sean $E$ y $F$ puntos en los segmentos $BC$ y $CA$, respectivamente, tales que \[\frac{CE}{CB}+\frac{CF}{CA}=1\qquad \text{y}\qquad \angle CEF=\angle CAB.\] Sean $M$ el punto medio del segmento $EF$ y $G$ el punto de corte de la recta $CM$ con el segmento $AB$. Demostrar que el triangulo $FEG$ es semejante al triangulo $ABC$.

Sea $AB$ un diámetro de una circunferencia $S$ con centro $O$ y de radio $1$. Sean $C$ y $D$ dos puntos tales que $AC$ y $BD$ se cortan en un punto $Q$ situado en el interior de $S$ y $\angle AQD=2\angle COD$. Sea $P$ el punto de corte de las tangentes a $S$ que pasan por los puntos $C$ y $D$. Determinar la longitud del segmento $OP$.

Sean $ABC$ un triángulo acutángulo y $C_1$ y $C_2$ las circunferencias que tienen a los lados $AB$ y $CA$ como diámetros, respectivamente. Supongamos que $C_2$ corta al lado $AB$ en el punto $F$ (con $F\neq A$) y $C_1$ corta al lado $CA$ en el punto $E$ (con $E\neq A$). Además, pongamos que $BE$ corta a $C_2$ en $P$ y $CF$ corta a $C_1$ en $Q$. Demostrar que las longitudes de los segmentos $AP$ y $AQ$ son iguales.

Sea $ABCDE$ un pentágono convexo. Sean $P$, $Q$, $R$ y $S$ los baricentros de los triángulos $ABE$, $BCE$, $CDE$ y $DAE$, respectivamente. Demostrar que $PQRS$ es un paralelogramo y que su área es $\frac{2}{9}$ del área de $ABCD$.