Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Un soldado necesita comprobar la presencia de minas en una región que tiene la forma de un triángulo equilátero. El radio de acción de su detector es igual a la mitad de la altura del triángulo. Si el soldado parte de un vértice del triángulo, ¿cuál sería el camino que debería tomar para cumplir su misión recorriendo la mínima distancia?

Determinar si puede existir un conjunto finito $M$ de puntos del espacio, no todos ellos coplanarios, tal que, para cualesquiera dos puntos $A$ y $B$ de $M$, podemos elegir otros dos puntos $C$ y $D$ en $M$ de forma que las rectas $AB$ y $CD$ son paralelas pero no coincidentes.

Dados cuatro planos paralelos distintos en el espacio, demostrar que existe un tetraedro regular que tiene un vértice en cada plano.

Demostrar que, para cada $n\geq 4$, cualquier cuadrilátero cíclico admite una disección en $n$ cuadriláteros cíclicos.

Todas las caras del tetraedro $ABCD$ son triángulos acutángulos. Consideremos todas las poligonales cerradas de la forma $XYZTX$ en las que $X,Y,Z,T$ son puntos interiores de las aristas $AB,BC,CD,DA$, respectivamente.

1. Si $\angle DAB+\angle BCD\neq \angle CDA+\angle ABC$, demostrar que entre todas las poligonales no hay ninguna de longitud mínima.
2. Si $\angle DAB+\angle BCD=\angle CDA+\angle ABC$, entonces hay una cantidad infinita de poligonales distintas de longitud mínima, siendo $2AC\,\mathrm{sen}(\alpha/2)$ dicha longitud mínima y $\alpha=\angle BAC+\angle CAD+\angle DAB$.