Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sean $ABC$ un triángulo acutángulo y $C_1$ y $C_2$ las circunferencias que tienen a los lados $AB$ y $CA$ como diámetros, respectivamente. Supongamos que $C_2$ corta al lado $AB$ en el punto $F$ (con $F\neq A$) y $C_1$ corta al lado $CA$ en el punto $E$ (con $E\neq A$). Además, pongamos que $BE$ corta a $C_2$ en $P$ y $CF$ corta a $C_1$ en $Q$. Demostrar que las longitudes de los segmentos $AP$ y $AQ$ son iguales.

Sea $ABCDE$ un pentágono convexo. Sean $P$, $Q$, $R$ y $S$ los baricentros de los triángulos $ABE$, $BCE$, $CDE$ y $DAE$, respectivamente. Demostrar que $PQRS$ es un paralelogramo y que su área es $\frac{2}{9}$ del área de $ABCD$.

Sean $ABC$ un triángulo, $D$ el punto medio de $BC$, $E$ un punto sobre el segmento $AC$ tal que $BE=2AD$ y $F$ el punto de intersección de $AD$ con $BE$. Si $\angle DAC=60^\circ$, encontrar la medida de los ángulos del triángulo $FEA$.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo y sean $D$ y $E$ los pies de las alturas desde los vértices $A$ y $B$, respectivamente. Demostrar que si \[\mathrm{Area}(BDE)\leq\mathrm{Area}(DEA)\leq\mathrm{Area}(EAB)\leq\mathrm{Area}(ABD),\] entonces el triángulo es isósceles.

En un trapecio $ABCD$, siendo $AB$ y $CD$ paralelas, sea $M$ el punto medio del lado $DA$. Si $\angle MCB=150^\circ$, hallar el área de $ABCD$ en función de $a=BC$ y $b=MC$.