Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sean $ABC$ un triángulo, $D$ el punto medio de $BC$, $E$ un punto sobre el segmento $AC$ tal que $BE=2AD$ y $F$ el punto de intersección de $AD$ con $BE$. Si $\angle DAC=60^\circ$, encontrar la medida de los ángulos del triángulo $FEA$.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo y sean $D$ y $E$ los pies de las alturas desde los vértices $A$ y $B$, respectivamente. Demostrar que si \[\mathrm{Area}(BDE)\leq\mathrm{Area}(DEA)\leq\mathrm{Area}(EAB)\leq\mathrm{Area}(ABD),\] entonces el triángulo es isósceles.

En un trapecio $ABCD$, siendo $AB$ y $CD$ paralelas, sea $M$ el punto medio del lado $DA$. Si $\angle MCB=150^\circ$, hallar el área de $ABCD$ en función de $a=BC$ y $b=MC$.

Sean $S_1$ y $S_2$ dos circunferencias que se cortan en dos puntos distintos $P$ y $Q$. Sean $l_1$ y $l_2$ dos rectas paralelas tales que:

• $l_1$ pasa por el punto $P$ y corta a $S_1$ en un punto $A_1$ distinto de $P$ y a $S_2$ en un punto $A_2$ distinto de $P$.
• $l_2$ pasa por el punto $Q$ y corta a $S_1$ en un punto $B_1$ distinto de $Q$ y a $S_2$ en un punto $B_2$ distinto de $Q$.

Demostrar que los triángulos $A_1QA_2$ y $B_1PB_2$ tienen igual perımetro.

Sea $S$ una circunferencia y $AB$ un diámetro de ella. Sea $t$ la recta tangente a $S$ en $B$ y sean $C$ y $D$ dos puntos en $t$ tales que $B$ está entre $C$ y $D$. Sean $E$ y $F$ las intersecciones de $S$ con $AC$ y $AD$, respectivamente, y sean $G$ y $H$ las intersecciones de $S$ con $CF$ y $DE$, respectivamente. Demostrar que $AH=AG$.