Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sea $ABC$ un triángulo con circuncentro $O$. Los puntos $D$, $E$ y $F$ están en el interior de los lados $BC$, $CA$ y $AB$, respectivamente, de forma que $DE$ es perpendicular a $CO$ y $DF$ es perpendicular a $BO$. Sea $K$ el circuncentro del triángulo $AFE$. Demostrar que las rectas $DK$ y $BC$ son perpendiculares.

Un polígono convexo de $n$ lados no tiene ningún par de lados paralelos. Dado un punto $P$ en el interior del polígono, demostrar que hay a lo sumo $n$ rectas que pasan por $P$ y que lo dividen en dos polígonos de la misma área.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo y sean $D,E,F$ los punto simétrico de $A,B,C$ respecto de los lados opuestos $BC,CA,AB$, respectivamente. Demostrar que las circunferencias circunscritas de los triángulos $DBC$, $ECA$ y $FAB$ concurren en un punto y que las rectas $AD$, $BE$ y $CF$ también concurren en un punto.

Supongamos que las rectas $OA$ y $OB$ son tangentes a una circunferencia en los puntos $A$ y $B$. La paralela a $OB$ que pasa por $A$ corta a la circunferencia de nuevo en el punto $C$ y la recta $OC$ corta de nuevo a la circunferencia en $E$. Si la semirrecta $AE$ corta a la recta $OB$ en $K$, demostrar que $K$ es el punto medio de $OB$.

Sea $P$ un polígono convexo y $X$ un punto interior tal que para cualquiera dos vértices $A$ y $B$ de $P$, el triángulo $XAB$ es isósceles. Demostrar que todos los vértices de $P$ están sobre un mismo círculo de centro $X$.