Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. Consideremos las circunferencias circunscritas a los triángulos $ABE$ y $AFD$, que se cortarán en $A$ y en otro punto $P$. Queremos ver que este punto $P$ pertenece a las otras dos circunferencias circunscritas, para lo que vamos a usar la propiedad del arco capaz. Llamaremos $\alpha,\beta,\gamma,\delta$ a los ángulos del cuadrilátero $A,B,C,D$ por comodidad.

Como $ADPF$ es cíclico, tenemos que $\angle APD=\angle AFD=180-\alpha-\delta$ y, como $ABPE$ es cíclico, tenemos que $\angle APB=\angle AEB=180-\alpha-\beta$, luego \[\angle DPB=\angle DPA+\angle APB=(180-\alpha-\delta)+(180-\alpha-\beta)=360-2\alpha-\beta-\delta=\gamma-\alpha,\] donde hemos usado que $\alpha+\beta+\gamma+\delta=360$. Ahora bien, como $ADPF$ es cíclico, tenemos que $\angle DPF=180-\angle DAF=180-\alpha$, luego obtenemos que \[\angle BPF=\angle DPF-\angle APF=(180-\alpha)-(\gamma-\alpha)=180-\gamma=\angle BCF.\] De este modo, los dos ángulos indicados en rojo en la figura son iguales, luego $P$ está en la circunferencia circunscrita al triángulo $BFC$. Con la circunferencia $DCE$ se razona igual (sólo hay que cambiar $E$ por $F$ y $B$ y $\beta$ por $D$ y $\delta$ en el razonamiento anterior).

Solución. Los triángulos $AMD$ y $BMN$ son semejantes (están en posición de Thales ya que $AD$ y $BC$ son paralelas) y la razón de semejanza es $\frac{1}{2}$ ya que el enunciado nos dice que $MD=2BM$. Por lo tanto, $BN=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}BC$ y tenemos que $N$ es el punto medio de $BC$. De esta forma, el área $BCD$, que es la mitad de la del paralelogramo, es a su vez el doble del área de $DBN$ (por tener la misma base y altura doble). Por otro lado, el área de $DMN$ es el doble de la de $BMN$ (ya que tiene doble base e igual altura). Todo esto nos dice que \begin{align*} \mathrm{Area}(ABCD)&=2\,\mathrm{Area}(BCD)=4\,\mathrm{Area}(BND)\\ &=4(\mathrm{Area}(MND)+\mathrm{Area}(MNB))\\ &=4(\mathrm{Area}(MND)+\tfrac{1}{2}\mathrm{Area}(MND))=6\,\mathrm{Area}(MND). \end{align*} Deducimos así que \[\frac{\mathrm{Area}(MND)}{\mathrm{Area}(ABCD)}=\frac{1}{6}.\]