Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sea $G$ el baricentro de un triángulo $ABC$ y $M$ el punto medio de $BC$. Sea $X$ e $Y$ puntos en $AB$ y $AC$, respectivamente, que están alineados con $G$ de forma que $XY$ y $BC$ son paralelas. Supongamos que $XC$ y $GB$ se cortan en $Q$ y que $YB$ y $GC$ se cortan en $P$.Demostrar que el triángulo $MPQ$ es semejante al triángulo $ABC$.

Consideremos todos los triángulos $ABC$ con una base fija $AB$ y cuya altura desde el vértice $C$ es una constante $h$. ¿Para cuál de dichos triángulos es el producto de las alturas máximo?

Dado un triángulo $ABC$, sean $D,E,F$ los puntos medios de $BC,AC,AB$, respectivamente, y sea $G$ el baricentro del triángulo. Para cada valor del ángulo $\angle BAC$, determinar el número de triángulos no semejantes podemos encontrar en los que $AEGF$ sea un cuadrilátero cíclico.

Sea $ABCD$ un cuadrado. Los puntos $X$ en el lado $AB$ e $Y$ en el lado $AD$ satisfacen $AX \cdot AY = 2 \, BX \cdot DY$. Las rectas $CX$ y $CY$ cortan la diagonal $BD$ en dos puntos. Probar que esos puntos pertenecen a la circunferencia circunscrita de $AXY$.

Las cuerdas $AB$ y $CD$ de una esfera se cortan en $X$. Los puntos $A, C$ y $X$ son equidistantes de un punto $Y$ en la esfera. Demostrar que $BD$ y $XY$ son perpendiculares.