Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sea $PQRS$ un cuadrilátero cíclico tal que los segmentos $PQ$ y $RS$ no son paralelos. Consideramos el conjunto de todas las circunferencias que pasan por $P$ y $Q$, y el conjunto de todas las circunferencias que pasan por $R$ y $S$. Determinar el conjunto $A$ de puntos de tangencia de las circunferencias de estos dos conjuntos.

Sea $ABC$ un triángulo no degenerado, con circuncentro $O$, ortocentro $H$ y radio circunscrito $R$. Probar que $OH\lt 3R$.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero cuyos lados tienen todos la misma longitud y $\angle ABC=60^\circ$. Sea $\ell$ una recta que pasa por $D$ y no corta al cuadrilátero en ningún otro punto. Sean $E$ y $F$ los puntos de intersección de $\ell$ con $AB$ y $BC$, respectivamente. Sea $M$ el punto de intersección de $CE$ y $AF$. Demostrar que $CA^2=CM\cdot CE$.

En un círculo $C$ con centro $O$ y radio $r$, sean $C_1$ y $C_2$ dos círculos con centros $O_1$ y $O_2$ y radios $r_1$ y $r_2$ respectivamente, tales que cada círculo $C_i$ es tangente internamente a $C$ en $A_i$, y además $C_1$, $C_2$ son tangentes externamente en $A$. Demostrar que las tres rectas $OA$, $O_1A_2$ y $O_2A_1$ son concurrentes.

Se tiene un triángulo con lados $a$, $b$ y $c$. Denotemos por $s$ al semiperímetro, es decir, $s = (a+b+c)/2$. Construimos un triángulo con lados $s-a$, $s-b$ y $s-c$. Este proceso se repite hasta que ya no sea posible construir un triángulo con las longitudes de lado dadas. ¿Para qué triángulos originales puede repetirse este proceso indefinidamente?