Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Desde un punto $P$ exterior a una circunferencia $S$ se trazan tangentes que la tocan en $A$ y $B$. Sea $M$ el punto medio de $AB$. La mediatriz de $AM$ corta a $S$ en el punto $C$ interior al triángulo $ABP$, la recta $AC$ corta a la recta $PM$ en $G$ y la recta $PM$ corta a $S$ en el punto $D$ exterior al triángulo $ABP$. Si $BD$ es paralelo a $AC$, demostrar que $G$ es el punto donde concurren las medianas del triángulo $ABP$.

Sea $ABC$ un triángulo y sean $D$ y $E$ puntos en los lados $AC$ y $AB$, respectivamente, tales que las rectas $BD$, $CE$ y la bisectriz que parte de $A$ concurren en un punto $P$ interior al triángulo. Demostrar que hay una circunferencia tangente a los cuatro lados del cuadrilátero $ADPE$ si y sólo si $AB = AC$.

Sea $ABC$ un triángulo con $BC\gt AC$. El círculo con centro en $C$ y radio $AC$ corta al segmento $BC$ en $D$. Sea $I$ el incentro del triángulo $ABC$ y sea $\Gamma$ el círculo que pasa por $I$ y es tangente a la recta $CA$ en $A$. La recta $AB$ y $\Gamma$ se cortan en $F$, con $F\neq A$. Demostrar que $BF = BD$.

Sean $ABC$ un triángulo acutángulo con $AB\lt AC$ y $\Gamma$ la circunferencia que pasa por $A$, $B$ y $C$. Sean $D$ el punto diametralmente opuesto a $A$ en $\Gamma$ y $\ell$ la recta tangente en $D$ a $\Gamma$. Sean $P$, $Q$ y $R$ las intersecciones de $BC$ con $\ell$, de $AP$ con $\Gamma$ tal que $Q\neq A$ y de $QD$ con la altura del triángulo $ABC$ por $A$, respectivamente. Se definen los puntos $S$ y $T$ como las intersecciones de la recta $\ell$ con $AB$ y $AC$, respectivamente. Probar que $S$ y $T$ pertenecen a la circunferencia que pasa por $A$, $Q$ y $R$.

Sea $ABCD$ un cuadrado de lado la unidad. Un vértice de un rombo está en el lado $AB$, otro en el lado $BC$ y un tercero en el lado $AD$. Encontrar el área del conjunto de todas las posibles localizaciones del cuarto vértice.