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La base de datos contiene 2803 problemas y 1137 soluciones.
Problema 1692
ASU, 1972-P9
Un heptágono está inscrito en una circunferencia cuyo centro cae en el interior del heptágono. Demostrar que la suma de los ángulos interiores de tres vértices consecutivos del heptágono es siempre menor que $450^\circ$.
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Problema 1690
ASU, 1972-P7
Sea $O$ el punto de intersección de las diagonales de un cuadrilátero convexo $ABCD$. Demostrar que la recta que une los circuncentros de los triángulos $ABO$ y $CDO$ es perpendicular a la recta que une los ortocentros de $BCO$ y $ADO$.
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Problema 1684
ASU, 1972-P1
Sea $ABCD$ un rectángulo y sean $M$ el punto medio de $AD$ y $N$ el punto medio de $BC$. Sea $P$ un punto del plano tal que $D$ está en el segmento $CP$ y supongamos que la semirrecta $PM$ corta a $AC$ en un punto $Q$. Demostrar que la recta $MN$ es la bisectriz del ángulo $\angle PNQ$.
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Problema 1682
Dibujado el triángulo de vértices $A,B,C$, se pide determinar gráficamente el punto $P$ tal que
\[\angle PAB=\angle PBC=\angle PCA.\]
Expresar una función trigonométrica de este ángulo $\angle PAB$ en función de las funciones trigonométricas de los ángulos $A$, $B$ y $C$.
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Problema 1679
Dadas dos circunferencias exteriores de radios $r$ y $r'$ ($r\neq r'$), se pide dibujar, razonadamente, una recta paralela a una dirección dada, tal que determine sobre las dos circunferencias dos cuerdas tales que la suma de sus longitudes sea igual a una longitud dada $\ell$.
pistasolución 1info
Pista. Quédate con dos semicírculos de forma que el problema se reduzca a que la suma de longitudes sea $\frac{\ell}{2}$.
Solución. Por simplicidad, supongamos que la dirección dada es la horizontal y que el centro $O$ de la circunferencia $\Gamma$ de radio $r$ está a la izquierda (o sobre la misma vertical) que el centro de la circunferencia $\Gamma'$ de radio $r'$. Cortamos $\Gamma$ y $\Gamma'$ por sus diámetros verticales y consideramos $C$ la semicircunferencia izquierda de $\Gamma$ y $C'$ la semicircunferencia derecha de $\Gamma'$. Trasladamos horizontalmente $C'$ hasta otra semicircunferencia $C''$ para que su diámetro se superponga con el de $C$, creando así la figura sombreada en la imagen. Como esta figura está compuesta por dos semicírculos, será suficiente encontrar un segmento en la dirección dada de longitud $\frac{\ell}{2}$. Para ello sólo hay que desplazar la figura una distancia $\frac{\ell}{2}$ a la derecha y tomar los puntos $X$ donde el borde de figura trasladada (en rojo en la imagen) se corte con el borde original (en verde). Por estos puntos $X$ pasarán las rectas que buscamos.
En la imagen se tiene un ejemplo, donde hay exactamente dos soluciones $X_1$ y $X_2$, para cada una de las cuales se ha indicado los segmentos cuyas longitudes suman $\ell$ en amarillo.
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