Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sean $ABC$ un triángulo acutángulo con $AB\lt AC$ y $\Gamma$ la circunferencia que pasa por $A$, $B$ y $C$. Sean $D$ el punto diametralmente opuesto a $A$ en $\Gamma$ y $\ell$ la recta tangente en $D$ a $\Gamma$. Sean $P$, $Q$ y $R$ las intersecciones de $BC$ con $\ell$, de $AP$ con $\Gamma$ tal que $Q\neq A$ y de $QD$ con la altura del triángulo $ABC$ por $A$, respectivamente. Se definen los puntos $S$ y $T$ como las intersecciones de la recta $\ell$ con $AB$ y $AC$, respectivamente. Probar que $S$ y $T$ pertenecen a la circunferencia que pasa por $A$, $Q$ y $R$.

Sea $ABCD$ un cuadrado de lado la unidad. Un vértice de un rombo está en el lado $AB$, otro en el lado $BC$ y un tercero en el lado $AD$. Encontrar el área del conjunto de todas las posibles localizaciones del cuarto vértice.

Cuatro faros se colocan en cuatro puntos del plano, cada uno de los cuales tiene una luz fija que alumbra un ángulo de $90^\circ$. Demostrar que las luces pueden rotarse de forma que desde cualquier punto del plano al menos una de ellas es visible.

En un triángulo acutángulo $ABC$, supongamos que $AH$ es la altura de mayor longitud, siendo $H$ el pie de dicha altura en el lado $BC$. Sea $M$ es el punto medio de $AC$ y $D$ la intersección de la bisectriz interior del ángulo $C$ con el lado $AB$.

1. Si $AH\leq BM$, demostrar que $\angle ABC\leq 60^\circ$.
2. Si $AH=BM=CD$, demostrar que $ABC$ es equilátero.

Sea $N$ el polo norte de una esfera, sean $A$ y $B$ puntos en un círculo máximo que pasa por $N$ y que equidistan de $N$ y sea $C$ un punto del ecuador. Demostrar que el círculo máximo que pasa por $C$ y $N$ es la bisectriz del triángulo esférico $ABC$.