Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Cuatro faros se colocan en cuatro puntos del plano, cada uno de los cuales tiene una luz fija que alumbra un ángulo de $90^\circ$. Demostrar que las luces pueden rotarse de forma que desde cualquier punto del plano al menos una de ellas es visible.

En un triángulo acutángulo $ABC$, supongamos que $AH$ es la altura de mayor longitud, siendo $H$ el pie de dicha altura en el lado $BC$. Sea $M$ es el punto medio de $AC$ y $D$ la intersección de la bisectriz interior del ángulo $C$ con el lado $AB$.

1. Si $AH\leq BM$, demostrar que $\angle ABC\leq 60^\circ$.
2. Si $AH=BM=CD$, demostrar que $ABC$ es equilátero.

Sea $N$ el polo norte de una esfera, sean $A$ y $B$ puntos en un círculo máximo que pasa por $N$ y que equidistan de $N$ y sea $C$ un punto del ecuador. Demostrar que el círculo máximo que pasa por $C$ y $N$ es la bisectriz del triángulo esférico $ABC$.

Se tienen dos cuadrados $ABCD$ y $A'B'C'D'$ que representan mapas de la misma región dibujados a distintas escalas y colocados uno encima del otro como se ve en la figura. Demostrar que existe un único punto $O$ del mapa pequeño que coincide con el punto $O'$ del mapa grande que representa el mismo punto de la región que $O$. Además, dar una construcción con regla y compás para obtener geométricamente el punto $O$.