Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Consideremos un tetraedro de arista $\ell$. La base es un triángulo de altura $\frac{\sqrt{3}}{2}\ell$, luego el área de la base es $S=\frac{\sqrt{3}}{4}\ell^2$ (¿sabrías justificarlo completamente?). La altura del tetraedro es $h=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\ell$, luego el volumen del tetraedro es $V=\frac{1}{3}Sh=\frac{1}{6\sqrt{2}}\ell^3$. Al llenar el tetraedro con dos litros de agua ($2$ dm$^3$) queda libre un volumen que también es un tetraedro. Llamamos $a$ a su arista. Expresando las longitudes también en decímetros, tenemos que \[2=V_{\mathrm{agua}}=V_{\mathrm{total}}-V_{\mathrm{vacío}}=\frac{1}{6\sqrt{2}}(3^3-a^3)\ \Longleftrightarrow\ a^3=27-12\sqrt{2}.\] La altura del agua será \[h_{\mathrm{agua}}=h_{\mathrm{total}}-h_{\mathrm{vacío}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}(3-a)=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\left(3-\sqrt[3]{27-12\sqrt{2}}\right).\]