Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Es muy conocido el puzzle consistente en descomponer la cruz griega de la izquierda de la figura en cuatro partes con las que se pueda componer un cuadrado. Una solución habitual es la de la figura de la derecha. Demostrar que hay una infinidad de soluciones diferentes. ¿Hay alguna solución que dé lugar a cuatro partes iguales?

En un triángulo $ABC$ tenemos puntos $D$ y $E$ respectivamente sobre los lados $AB$ y $AC$. Conocemos la medida de los ángulos $\angle ABE=30^\circ$, $\angle EBC = 50^\circ$, $ACD = 20^\circ$ y $\angle DCB = 60^\circ$. Hallar el valor del ángulo $\angle EDC$.

Sean $a$, $b$ y $c$ las longitudes de los lados de un triángulo no isósceles. Se dan tres círculos concéntricos de radios $a$, $b$ y $c$.

1. ¿Cuántos triángulos equiláteros de áreas distintas pueden construirse, de modo que las rectas que contienen sus lados sean tangentes a cada círculo?
2. Hallar las áreas de dichos triángulos.

Un segmento $d$ divide al segmento $s$ si existe un natural $n$ tal que $s$ se descompone en $n$ segmentos iguales de longitud $d$.

1. Demostrar que si el segmento $d$ divide a los segmentos $s$ y $s'$ con $s\lt s'$, entonces divide al segmento diferencia $s'-s$.
2. Demostrar que ningún segmento divide al lado $s$ y a la diagonal $s'$ de un pentágono regular. Se pide razonar sobre el pentágono regular cuyos lados están contenidos en las diagonales del pentágono dado, sin efectuar cálculos numéricos.

Se consideran las semirrectas no alineadas $OX$ y $OY$ de vértice común $O$. Por un punto $A$ de $OX$ se trazan rectas $r_1$ y $r_2$ antiparalelas respecto al ángulo $\angle XOY$. Sean $M$ y $N$ las intersecciones de $r_1$ con $OY$ y de $r_2$ con $OX$, respectivamente. Sea $P$ el punto de intersección de las bisectrices de los ángulos $\angle AMY$ y $\angle ANY$. Hallar el lugar geométrico de $P$ al variar $A$.

Nota. Las rectas $r_1$ y $r_2$ se dicen antiparalelas respecto al ángulo $\angle XOY$ cuando su bisectriz es perpendicular a la bisectriz del ángulo $\angle XOY$.