Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sean $A$ y $B$ puntos fijos en una circunferencia de forma que $AB$ no es un diámetro y sea $XY$ un diámetro variable de la misma circunferencia. Hallar el lugar geométrico de la intersección de las rectas $AX$ y $BY$.

Dados dos círculos que se cortan en los puntos $P$ y $Q$, construir un segmento $AB$ que pase por $P$ y tenga sus extremos en los círculos de forma que el producto $AP\cdot PB$ sea máximo.

Consideramos los triángulos $\Delta ABC$ y $\Delta PQR$ que se muestran en la figura. Sabiendo que $\angle ADB=\angle BDC=\angle CDA=120^\circ$, demostrar que $x=u+v+w$.

Tenemos dos puntos sobre una esfera de radio $1$ unidos por una curva interior a la esfera de longitud menor que $2$. Probar que la curva está contenida completamente en cierto hemisferio de la bola.

Dos puntos $P$ y $Q$ están en el interior de un tetraedro regular $ABCD$. Demostrar que $\angle PAQ\lt 60^\circ$.