Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Tenemos dos puntos sobre una esfera de radio $1$ unidos por una curva interior a la esfera de longitud menor que $2$. Probar que la curva está contenida completamente en cierto hemisferio de la bola.

Dos puntos $P$ y $Q$ están en el interior de un tetraedro regular $ABCD$. Demostrar que $\angle PAQ\lt 60^\circ$.

Sea $ABC$ un triángulo con $AB\lt AC\lt BC$. Sean $I$ y $\omega$ el incentro y el incírculo del triángulo $ABC$, respectivamente. Sea $X$ el punto de la recta $BC$, diferente de $C$, tal que la recta paralela a $AC$ que pasa por $X$ es tangente a $\omega$. Análogamente, sea $Y$ el punto de la recta $BC$, diferente de $B$, tal que la recta paralela a $AB$ que pasa por $Y$ es tangente a $\omega$. La recta $AI$ corta de nuevo al circuncírculo del triángulo $ABC$ en $P\neq A$. Sean $K$ y $L$ los puntos medios de $AC$ y $AB$, respectivamente. Demostrar que $\angle KIL + \angle YPX = 180^\circ$.

Sea $ABC$ un triángulo equilátero. Sean $A_1,B_1,C_1$ puntos interiores de ABC tales que $BA_1 = A_1C$, $CB_1 =B_1A$, $AC_1 =C_1B$ y \[\angle BA_1C + \angle CB_1A + \angle AC_1B = 480^\circ.\] Las rectas $BC_1$ y $CB_1$ se cortan en $A_2$, las rectas $CA_1$ y $AC_1$ se cortan en $B_2$ y las rectas $AB_1$ y $BA_1$ se cortan en $C_2$.

Demostrar que, si el triángulo $A_1B_1C_1$ es escaleno, entonces los tres circuncírculos de los triángulos $AA_1A_2$, $BB_1B_2$ y $CC_1C_2$ pasan todos por dos puntos comunes.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AB\lt AC$. Sea $\Omega$ el circuncírculo de $ABC$. Sea $S$ el punto medio del arco $CB$ de $\Omega$ que contiene a $A$. La perpendicular por $A$ a $BC$ corta al segmento $BS$ en $D$ y a $\Omega$ de nuevo en $E\neq A$. La paralela a $BC$ por $D$ corta a la recta $BE$ en $L$. Sea $\omega$ el circuncírculo del triángulo $BDL$. Las circunferencias $\omega$ y $\Omega$ se cortan de nuevo en $P\neq B$. Demostrar que la recta tangente a $\omega$ en $P$ corta a la recta $BS$ en un punto de la bisectriz interior del ángulo $\angle BAC$.