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La base de datos contiene 2803 problemas y 1137 soluciones.
Problema 1641
En dos circunferencias iguales se fijan sendos puntos $A$ y $A'$. Dada una longitud $x$, se trazan arcos $AB$ y $A'B'$ de longitud $x$ sobre las circunferencias. Hallar el lugar geométrico de los puntos medios del segmento $BB'$ al variar $x$ en cada uno de los siguientes supuestos:
- cuando los arcos se llevan en el mismo sentido,
- cuando los arcos se llevan en sentidos opuestos.
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Problema 1636
Un tetraedro regular de arista $30$ cm descansa sobre una de sus caras. Suponiéndolo hueco, se vierten 2 litros de agua en su interior. Se pide la altura que alcanza el líquido y el área de la superficie libre del agua.
pistasolución 1info
Pista. Comienza calculando el volumen total y el volumen libre de agua (que es otro tetraedro de arista menor).
Solución. Consideremos un tetraedro de arista $\ell$. La base es un triángulo de altura $\frac{\sqrt{3}}{2}\ell$, luego el área de la base es $S=\frac{\sqrt{3}}{4}\ell^2$ (¿sabrías justificarlo completamente?). La altura del tetraedro es $h=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\ell$, luego el volumen del tetraedro es $V=\frac{1}{3}Sh=\frac{1}{6\sqrt{2}}\ell^3$. Al llenar el tetraedro con dos litros de agua ($2$ dm$^3$) queda libre un volumen que también es un tetraedro. Llamamos $a$ a su arista. Expresando las longitudes también en decímetros, tenemos que
\[2=V_{\mathrm{agua}}=V_{\mathrm{total}}-V_{\mathrm{vacío}}=\frac{1}{6\sqrt{2}}(3^3-a^3)\ \Longleftrightarrow\ a^3=27-12\sqrt{2}.\]
La altura del agua será
\[h_{\mathrm{agua}}=h_{\mathrm{total}}-h_{\mathrm{vacío}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}(3-a)=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\left(3-\sqrt[3]{27-12\sqrt{2}}\right).\]
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Problema 1634problema obsoleto
Hallar las coordenadas de los vértices de un cuadrado $ABCD$, sabiendo que $A$ está sobre la recta $y-2x-6=0$, $C$ en $x=0$ y $B$ es el punto $(a,0)$, siendo $a=\log_{2/3}(16/81)$.
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Problema 1631
Construir un triángulo conociendo un ángulo, la razón de los lados que lo forman y el radio del círculo inscrito.
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Problema 1629problema obsoleto
Dado un conjunto $C$ de puntos del plano, la distancia de un punto $P$ del plano al conjunto $C$ se define como la menor de las distancias de $P$ a cada uno de los puntos de $C$. Sean los conjuntos $C = \{A,B\}$, con $A = (1,0)$ y $B = (2,0)$, y $C'=\{A',B'\}$, con $A' = (0, 1)$ y $B'=(0,7)$, en un sistema de referencia ortogonal. Hallar y dibujar el conjunto $M$ de puntos del plano que equidistan de $C$ y $C'$. Estudiar si es derivable la función cuya gráfica es el conjunto $M$ así obtenido.
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