Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sea $ABC$ un triángulo equilátero. Sean $A_1,B_1,C_1$ puntos interiores de ABC tales que $BA_1 = A_1C$, $CB_1 =B_1A$, $AC_1 =C_1B$ y \[\angle BA_1C + \angle CB_1A + \angle AC_1B = 480^\circ.\] Las rectas $BC_1$ y $CB_1$ se cortan en $A_2$, las rectas $CA_1$ y $AC_1$ se cortan en $B_2$ y las rectas $AB_1$ y $BA_1$ se cortan en $C_2$.

Demostrar que, si el triángulo $A_1B_1C_1$ es escaleno, entonces los tres circuncírculos de los triángulos $AA_1A_2$, $BB_1B_2$ y $CC_1C_2$ pasan todos por dos puntos comunes.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AB\lt AC$. Sea $\Omega$ el circuncírculo de $ABC$. Sea $S$ el punto medio del arco $CB$ de $\Omega$ que contiene a $A$. La perpendicular por $A$ a $BC$ corta al segmento $BS$ en $D$ y a $\Omega$ de nuevo en $E\neq A$. La paralela a $BC$ por $D$ corta a la recta $BE$ en $L$. Sea $\omega$ el circuncírculo del triángulo $BDL$. Las circunferencias $\omega$ y $\Omega$ se cortan de nuevo en $P\neq B$. Demostrar que la recta tangente a $\omega$ en $P$ corta a la recta $BS$ en un punto de la bisectriz interior del ángulo $\angle BAC$.

Sea $ABCDE$ un pentágono convexo tal que $BC = DE$. Supongamos que existe un punto $T$ en el interior de $ABCDE$ tal que $TB = TD$, $TC = TE$ y $\angle ABT = \angle TEA$. La recta $AB$ corta a las rectas $CD$ y $CT$ en los puntos $P$ y $Q$, respectivamente. Supongamos que los puntos $P,B,A,Q$ están sobre su recta en ese orden. La recta $AE$ corta a las rectas $CD$ y $DT$ en los puntos $R$ y $S$, respectivamente. Supongamos que los puntos $R,E,A,S$ aparecen sobre su recta en ese orden. Demostrar que los puntos $P,S,Q,R$ están en una misma circunferencia.

Sean $\Gamma$ una circunferencia con centro $I$ y $ABCD$ un cuadrilátero convexo tal que cada uno de los segmentos $AB$, $BC$, $CD$ y $DA$ es tangente a $\Gamma$. Sea $\Omega$ la circunferencia circunscrita del triángulo $AIC$. La prolongación de $BA$ más allá de $A$ corta a $\Omega$ en $X$ y la prolongación de $BC$ más allá de $C$ corta a $\Omega$ en $Z$. Las prolongaciones de $AD$ y $CD$ más allá de $D$ cortan an $\Omega$ en $Y$ y $T$, respectivamente. Probar que \[AD + DT + TX + XA = CD + DY + Y Z + ZC.\]

Sea $D$ un punto interior de un triángulo acutángulo $ABC$, con $AB\gt AC$, de forma que $\angle DAB = \angle CAD$. Un punto $E$ en el segmento $AC$ satisface $\angle ADE = \angle BCD$, un punto $F$ en el segmento $AB$ satisface $\angle FDA = \angle DBC$, y un punto $X$ en la recta $AC$ satisface $CX=BX$. Sean $O_1$ y $O_2$ los circuncentros de los triángulos $ADC$ y $EXD$ respectivamente. Probar que las rectas $BC$, $EF$ y $O_1O_2$ son concurrentes.