Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sea $G$ el baricentro de un triángulo $ABC$ y $M$ el punto medio de $BC$. Sea $X$ un punto de $AB$ e $Y$ un punto de $AC$ tales que $X,Y,G$ están alineados y las rectas $XY$ y $BC$ sn paralelas. Supongamos que $XC$ y $GB$ se cortan en $Q$ y que $YB$ y $GC$ se cortan en $P$. Demostrar que los triángulos $MPQ$ y $ABC$ son semejantes.

Dado un triángulo $ABC$, sean $D,E,F$ los puntos medios de $BC,AC,AB$, respectivamente, y sea $G$ el baricentro del triángulo. Para cada valor del ángulo $\angle BAC$, ¿cuántos triángulos no semejantes se pueden encontrar tales que $AEGF$ es un cuadrilátero cíclico?

Sean $A_1,A_2,A_3$ tres puntos en el plano y, por comodidad, denotemos $A_4=A_1$ y $A_5=A_2$. Para $n=1,2,3$, supongamos que $B_n$ es el punto medio de $A_nA_{n+1}$ y supongamos que $C_n$ es el punto medio de $A_nB_n$. Supongamos que $A_nC_{n+1}$ y $B_nA_{n+2}$ se cortan en $D_n$ y que $A_nB_{n+1}$ y $C_nA_{n+2}$ se cortan en $E_n$. Calcular la razón entre las áreas de los triángulos $D_1D_2D_3$ y $E_1E_2E_3$.

Dado un triángulo $ABC$, supongamos que un punto $P$ en el espacio cumple que $PH$ es la menor de las cuatro alturas de la pirámide $PABC$ (siendo $H$ el pie de dicha altura en el plano que contiene al triángulo $ABC$). ¿Cuál es el lugar geométrico de $H$ al variar el punto $P$ cumpliendo estas condiciones?

Consideremos un triángulo $OAB$ con ángulo agudo $\angle AOB$. Se trazan perpendiculares a $OA$ y $OB$ que pasan por un punto común $M\neq O$ y cuyos pies son $P$ y $Q$, respectivamente. El punto de intersección de las alturas del triángulo $OPQ$ es $H$. ¿Cuál es el lugar geométrico de $H$ cuando $M$ varía en el lado $AB$? ¿Y cuando varía en el interior de $OAB$?