Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Dado un triángulo $ABC$, supongamos que un punto $P$ en el espacio cumple que $PH$ es la menor de las cuatro alturas de la pirámide $PABC$ (siendo $H$ el pie de dicha altura en el plano que contiene al triángulo $ABC$). ¿Cuál es el lugar geométrico de $H$ al variar el punto $P$ cumpliendo estas condiciones?

Consideremos un triángulo $OAB$ con ángulo agudo $\angle AOB$. Se trazan perpendiculares a $OA$ y $OB$ que pasan por un punto común $M\neq O$ y cuyos pies son $P$ y $Q$, respectivamente. El punto de intersección de las alturas del triángulo $OPQ$ es $H$. ¿Cuál es el lugar geométrico de $H$ cuando $M$ varía en el lado $AB$? ¿Y cuando varía en el interior de $OAB$?

Sea $ABCD$ una pirámide de base triangular cuyas aristas $AB$ y $CD$ tienen longitudes $a$ y $b$ respectivamente. La distancia entre las rectas que se cruzan $AB$ y $CD$ es $d$ y el ángulo entre ellas es $\omega$. La pirámide se divide en dos sólidos mediante el plano $\varepsilon$, paralelo a las rectas $AB$ y $CD$. La razón entre las distancias a $\varepsilon$ desde $AB$ y $CD$ es igual a $k$. Hallar la razón entre los volúmenes de estos dos sólidos.

Nota: Las rectas $AB$ y $CD$ en el espacio se cruzan si no son paralelas ni se cortan. El ángulo que forman $AB$ y $CD$ es el ángulo que forman sus proyecciones ortogonales sobre el plano paralelo $\varepsilon$.

En una pirámide de base triangular $ABCD$, el vértice $D$ está conectado con $D_0$, el baricentro del triángulo $ABC$. Se dibujan rectas paralelas a $DD_0$ que pasan por $A$, $B$ y $C$ y cortan a los planos $BCD$, $CAD$ y $ABD$ en puntos $A_1$, $B_1$ y $C_1$, respectivamente. Demostrar que el volumen de $ABCD$ es un tercio del volumen de $A_1B_1C_1D_0$. ¿Es cierto el mismo resultado si $D_0$ es cualquier punto del interior del triángulo $ABC$?

Se consideran las rectas tangentes a la circunferencia inscrita de un triángulo $ABC$ que son paralelas a los lados del triángulo. Si recortamos el triángulo $ABC$ a lo largo de ellas, se obtienen otros tres triángulos y en cada uno de ellos se considera también la circunferencia inscrita. Hallar la suma de las áreas de los cuatro círculos inscritos en términos de las longitudes de los lados de $ABC$.