Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Supondremos que $C'$ es la circunferencia exterior. Por simetría, cada una de las circunferencias $C_1,C_2,\ldots,C_8$ tiene que estar inscrita en un sector angular de $45^\circ$. Todas ellas tienen que tener el mismo radio, que llamaremos $\rho$ y debe cumplirse que $r'=r+2\rho$ ya que un radio de $C'$ se puede expresar como suma de un radio de $C$ y del diámetro de cualquier $C_i$. Además, considerando el triángulo indicado en la figura, podemos calcular el seno de $22,5^\circ$ como el cateto opuesto $\rho$ dividido por la hipotenusa $r+\rho$. El seno de este ángulo se puede calcular por la fórmula del ángulo mitad (ver la nota), lo que nos da \[\tfrac{1}{2}\sqrt{2-\sqrt{2}}=\operatorname{sen}(22.5)=\frac{\rho}{r+\rho}=\frac{r'-r}{r'+r}=\frac{\frac{r'}{r}-1}{\frac{r'}{r}+1},\] luego podemos despejar \[\frac{r'}{r}=\frac{1+\tfrac{1}{2}\sqrt{2-\sqrt{2}}}{1-\tfrac{1}{2}\sqrt{2-\sqrt{2}}}=7-4 \sqrt{2}+2 \sqrt{20-14 \sqrt{2}}.\] ¿Sabrías justificar esta última racionalización?

Nota. La fórmula del seno del ángulo mitad nos dice que \[\operatorname{sen}^2(\tfrac{x}{2})=\frac{1-\cos(x)}{2}.\] En el caso $x=45$, hay que darse cuenta también de que $\operatorname{sen}(\tfrac{x}{2})$ es positivo.

Solución. Los lados del triángulo son $a=r+r'$, $b=r'+r''$ y $c=r''+r$, luego el radio de su circunferencia inscrita $\rho$ puede calcularse mediante la fórmula $S=\rho p$, siendo $S$ el área del triángulo y $p=\frac{1}{2}(a+b+c)=r+r'+r''$ su semiperímetro. Usando la fórmula de Herón, tenemos que \[\rho=\frac{S}{p}=\frac{\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}{p}=\sqrt{\frac{r\cdot r'\cdot r''}{r+r'+r''}}.\]

Solución. Consideremos una rotación de $60^\circ$ con centro en $P$ y sea $r'$ la imagen de $r$ por dicha rotación. Como $r'$ y $s$ no son paralelas, se cortarán en un cierto punto $Q'$ de $s$, que será el rotado de un cierto punto $Q$ de $r$ por construcción. Se tiene entonces que $PQQ'$ es el triángulo equilátero que buscamos.

Nota. Para cualquier punto $P$ hay exactamente dos triángulos en las condiciones dadas: el que se obtiene girando en sentido horario y el que se obtiene girando en sentido antihorario.