Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sea $ABC$ un triángulo y tomemos un punto $A'$ del lado $BC$ tal que $BA'=\frac{1}{4}BC$. Del mismo modo tomamos $B'$ en el lado $CA$ tal que $CB'=\frac{1}{4}CA$ y $C'$ en el lado $AB$ tal que $AC'=\frac{1}{4}AB$. Demostrar que el perímetro de $A'B'C'$ está entre $\frac{1}{2}$ y $\frac{3}{4}$ del perímetro de $ABC$.

Sean $ACPH$, $AMBE$, $AHBT$, $BKXM$ Y $CKXP$ paralelogramos, donde los vértices están etiquetados en sentido contrario a las agujas del reloj. Demostrar que $ABTE$ también es un paralelogramo.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo. Sean $K$ y $M$ los puntos medios de $AB$ y $CD$, respectivamente, y sean $L$ y $N$ puntos de los lados $BC$ y $AD$, respectivamente, tales que $KLMN$ es un rectángulo. Demostrar que el área de este rectángulo es la mitad del área de $ABCD$.

Sean $ABC,CDE,EFG$ triángulos equiláteros de forma que los vértices están etiquetados en el sentido contrario a las agujas del reloj. Si $A,D,G$ están alineados y $AD=DG$, demostrar que $BFD$ es un triángulo equilátero.

Sea $AB$ un diámetro de una circunferencia $C$ y sean $M$ y $N$ dos puntos cualesquiera sobre $C$. Se consideran cuerda s $MA'$ y $MB'$ perpendiculares a $NA$ y $NB$, respectivamente. Demostrar que $AA'$ y $BB'$ son paralelas.