Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sea $ABCD$ un cuadrado. Los puntos $X$ en el lado $AB$ e $Y$ en el lado $AD$ satisfacen $AX \cdot AY = 2 \, BX \cdot DY$. Las rectas $CX$ y $CY$ cortan la diagonal $BD$ en dos puntos. Probar que esos puntos pertenecen a la circunferencia circunscrita de $AXY$.

Las cuerdas $AB$ y $CD$ de una esfera se cortan en $X$. Los puntos $A, C$ y $X$ son equidistantes de un punto $Y$ en la esfera. Demostrar que $BD$ y $XY$ son perpendiculares.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con circuncentro $O$. La circunferencia circunscrita de $ABO$ corta a $AC$ y $BC$ en $M$ y $N$, respectivamente. Demostrar que las circunferencias circunscritas de $ABO$ y $MNC$ tienen el mismo radio.

Sea $ABCD$ un rectángulo. Se eligen puntos $K, L, M, N$ en los lados $AB, BC, CD, DA$, respectivamente, de manera que $KL$ es paralelo a $MN$ y $KM$ es perpendicular a $LN$. Demostrar que la intersección de $KM$ y $LN$ está sobre $BD$.