Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Un pentágono convexo $ABCDE$ tiene la propiedad de que el área de cada uno de los cinco triángulos $ABC$, $BCD$, $CDE$, $DEA$ y $EAB$ es uno. Demostrar qeu todos los pentágonos con esta propiedad tienen la misma área y calcularla. Demostrar, además, que hay una cantidad infinita de pentágonos no congruentes con dicha propiedad.

Un tetraedro $ABCD$ verifica $AB=CD$, $AC=BD$ y $AD=BC$. Demostrar que sus caras son triángulos acutángulos.

Tenemos un polígono de $n$ lados cuyos ángulos interiores son todos iguales y tal que las longitudes de los lados consecutivos cumplen la relación \[a_1\geq a_2\geq\ldots\geq a_n.\] Demostrar que $a_1=a_2=\ldots=a_n$.

Se tiene un segmento $BC$ y un punto $A$ en el espacio. Hallar el lugar geométrico de los puntos del espacio que son vértices de ángulos rectos con uno de sus lados pasando por $A$ y el otro lado cortando al segmento $BC$.

Una pirámide $SABC$ de base triangular tiene la siguiente propiedad: existen cinco esferas, cada una de ellas tangente a las rectas que contienen a las seis aristas $SA, SB, SC, BC, CA, AB$.

1. Demostrar que la pirámide es un tetraedro regular.
2. Recíprocamente, demostrar que cualquier tetraedro regular tiene dicha propiedad.